مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 01

Soit

$$\omega=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1-1\ge0,\ 3-x_2\ge0,\ c_1x_1-c_2x_2\ge0,\ x_1,x_2\ge0\},$$

où $c_1,c_2\in\mathbb{R}$.

On considère la fonction $f:\omega\to\mathbb{R}_+$ définie par

$$f(x_1,x_2)=2\ln(x_1)+\ln(3-x_2).$$

Étudier le problème d'optimisation de $f$ sur $\omega$ en fonction de $c_1$ et $c_2$.

1. Définir le Lagrangien du problème.
2. Étudier les points critiques du Lagrangien.
3. Conclure.

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^N$, $1<p<+\infty$, et $(f_n)$ une suite de $L^p(\Omega)$ telle que

$$f_n\rightharpoonup f\quad\text{dans }L^p(\Omega),$$

avec

$$\frac1p+\frac1q=1.$$

1. Étudier la limite de

$$\int_\Omega f_n(x)g(x)\,dx$$

pour $g\in L^q(\Omega)$ lorsque $n\to\infty$.

2. Utiliser une inégalité de type Hilbert pour obtenir une estimation adaptée au problème.

Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ une matrice symétrique semi-définie positive. On considère

$$f:\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\|x\|^2}.$$

1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine.
2. Montrer que chacun des problèmes

$$\inf_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}f(x) \qquad\text{et}\qquad \sup_{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}}f(x)$$

possède une solution. 3. Déterminer l'ensemble des points critiques de $f$. 4. Résoudre les deux problèmes précédents.

On se donne deux fonctions $f$ et $a$ de classe $C^0([0,1])$ et deux réels $\alpha,\beta$. On considère

$$\begin{cases} -u''(x)+a(x)u'(x)=f(x),&0<x<1,\\ u(0)=\alpha,\\ u(1)=\beta. \end{cases}$$

Montrer que le problème admet une solution et établir une estimation a priori de la forme

$$|u(x)|\le |\alpha|(1-x)+|\beta|x+\frac12x(1-x)\|f\|_{L^\infty(0,1)}e^3, \qquad x\in[0,1].$$

On considère ensuite une fonction convexe croissante $f$ sur $\mathbb{R}$ et on étudie l'algorithme de Newton

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$

Établir les conditions assurant la monotonie et la convergence de $(x_n)$ vers l'unique zéro de $f$.

1. Soit $C\subset\mathbb{R}^n$ une partie convexe fermée non vide, $y^0\in\mathbb{R}^n\setminus C$, et soit $x^0$ la projection de $y^0$ sur $C$.

a. Vérifier l'existence et l'unicité de $x^0$, puis écrire le problème d'optimisation dont la solution est $x^0$.

b. Montrer par deux méthodes différentes que $x^0\in\operatorname{Fr}(C)$.

2. Soit

$$C=\{x\in\mathbb{R}^3:x_1\le x_2\le x_3\}$$

et $y^0=(1,3,2)^T$. Déterminer la projection $x^0$ de $y^0$ sur $C$.

Soit $f$ une fonction strictement décroissante et convexe sur $\mathbb{R}$, telle que $f(\alpha)>0$ et $f(\beta)<0$ pour certains $\alpha<\beta$.

1. Montrer que $f$ possède un unique zéro $a\in(\alpha,\beta)$.
2. Étudier l'itération de Newton

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

et montrer que, pour un choix convenable de $x_0$, la suite converge vers $a$. 3. Établir, sous des hypothèses de régularité appropriées, la convergence quadratique de la méthode.