مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ferhat Abbas

التمرين 1

Exercice 1 (Sétif 2022) — $\ker f=\mathrm{Im}\,f$ ⇔ $f\circ f=0$ et $n=2\,\mathrm{rg}(f)$

#endomorphismes#noyau#image#théorème du rang

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f\in\mathcal{L}(E)$ . Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :

a) $\ker f = \mathrm{Im}\,f$ .

b) $f\circ f = 0$ et $n = 2\,\mathrm{rg}(f)$ .

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimensions respectives $n$ et $p$ , et $f\in\mathcal{L}(E,F)$ . Montrer que :

a) Si $n<p$ , alors $f$ n'est pas surjective.

b) Si $n>p$ , alors $f$ n'est pas injective.

Caractérisation des endomorphismes nilpotents d'indice 2 dont le noyau et l'image coïncident. Exemple canonique : $f=\begin{pmatrix}0&I_r\\0&0\end{pmatrix}$ en blocs $r\times r$ avec $n=2r$ .

◀الحل

(a) $\Rightarrow$ (b) : $\ker f=\mathrm{Im}\,f\Rightarrow \forall x, f(x)\in\ker f\Rightarrow f(f(x))=0$ , donc $f\circ f=0$ . Théorème du rang : $\dim\ker f + \mathrm{rg}(f) = n$ ; comme $\ker f=\mathrm{Im}\,f$ , $\dim\ker f=\mathrm{rg}(f)$ , donc $n=2\,\mathrm{rg}(f)$ .

(b) $\Rightarrow$ (a) : $f\circ f=0\Rightarrow \mathrm{Im}\,f\subseteq\ker f$ . De plus $\dim\ker f = n-\mathrm{rg}(f) = 2\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(f)=\mathrm{rg}(f)=\dim\mathrm{Im}\,f$ . Inclusion + égalité des dimensions : $\mathrm{Im}\,f=\ker f$ .

a) $\mathrm{rg}(f)\le\min(n,p)=n<p=\dim F$ , donc $f$ non surjective.

b) Théorème du rang : $\dim\ker f=n-\mathrm{rg}(f)\ge n-p>0$ , donc $f$ non injective.

التمرين 2

Exercice 2 (Sétif 2022) — Bases de $U$, $V$, $U\cap V$ dans $\mathbb{R}_4[t]$

#espaces vectoriels#sous-espaces#polynômes#base#Grassmann

Soient :

$E = \mathbb{R}_4[t]$ l'espace des polynômes $p(t)$ de degré au plus 4.
$U = \{p\in E \mid p(1) = 0\}$ .
$V = \mathrm{Vect}\{v_1(t), v_2(t), v_3(t), v_4(t)\}$ où $v_1(t) = 1+t^2-t^3$ , $v_2(t) = t+t^3$ , $v_3(t) = t^2$ , $v_4(t) = 1+t+t^2$ .

Déterminer une base de $U$ et une base de $V$ .
Trouver une base de $U\cap V$ .
Est-il vrai que $U+V = E$ ? (Justifier la réponse).

Technique classique pour $U\cap V$ : paramétrer $V$ puis imposer les équations de $U$ . Grassmann : $\dim(U+V)+\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V$ .

◀الحل

$E$ de dimension 5, base canonique $(1,t,t^2,t^3,t^4)$ .

Base de $U$ : $U$ est le noyau de la forme linéaire $p\mapsto p(1)$ , hyperplan, $\dim U=4$ . Base : $(t-1, t^2-1, t^3-1, t^4-1)$ .

Base de $V$ : coordonnées dans $(1,t,t^2,t^3,t^4)$ : $v_1=(1,0,1,-1,0)$ , $v_2=(0,1,0,1,0)$ , $v_3=(0,0,1,0,0)$ , $v_4=(1,1,1,0,0)$ . On vérifie $v_4-v_1=(0,1,0,1,0)=v_2$ , donc $v_4=v_1+v_2$ : dépendance. Une base : $(v_1,v_2,v_3)$ (indépendants), $\dim V=3$ .

Base de $U\cap V$ : cherchons $p=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3$ vérifiant $p(1)=0$ . Or $v_1(1)=1$ , $v_2(1)=2$ , $v_3(1)=1$ , donc $p(1)=\alpha+2\beta+\gamma=0$ . Deux paramètres libres, $\dim(U\cap V)=2$ . Base : $p_1=v_1-v_3=1-t^3$ (pour $\alpha=1,\gamma=-1,\beta=0$ ) et $p_2=2v_1-v_2=2-t+2t^2-3t^3$ (pour $\alpha=2,\beta=-1,\gamma=0$ ).
$U+V=E$ ? Formule de Grassmann : $\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)=4+3-2=5=\dim E$ . Donc $U+V=E$ .

التمرين 3

Exercice 3 (Sétif 2022) — Trigonalisation $3\times 3$ et suites récurrentes couplées

#matrices#valeurs propres#trigonalisation#puissances de matrice#suites récurrentes

On considère la matrice suivante : $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$

Déterminer les sous-espaces propres de $A$ .
Montrer que $A$ est trigonalisable mais non diagonalisable.
Trigonaliser la matrice $A$ en donnant la réduite $T = \begin{pmatrix}\lambda_1 & m & 0\\ 0 & \lambda_1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix}$ où $\lambda_1,\lambda_2$ sont les valeurs propres distinctes et $m$ un réel.
Calculer $T^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ ). En déduire $A^n$ .
Soit $(u_n),(v_n),(w_n)$ trois suites définies par leurs premiers termes $u_0,v_0,w_0$ et $\begin{cases} u_{n+1}=3u_n-v_n+w_n\\ v_{n+1}=2u_n+w_n\\ w_{n+1}=u_n-v_n+2w_n\end{cases}$ Donner le terme général $u_n,v_n,w_n$ en fonction de $n$ .

Méthode : (i) polynôme caractéristique, (ii) sous-espaces propres, (iii) vecteurs propres généralisés pour compléter, (iv) décomposition $T=D+N$ avec $DN=ND$ pour puissances. Suites récurrentes couplées linéaires : $X_n=A^n X_0$ .

◀الحل

1-2. $\chi_A(\lambda) = -(\lambda-2)^2(\lambda-1)$ . Valeurs propres : $\lambda_1=2$ (double), $\lambda_2=1$ (simple).

Espace propre $\lambda=2$ : $(A-2I)v=0$ donne $v=(1,1,0)^T$ (dim 1). Espace propre $\lambda=1$ : $(A-I)v=0$ donne $w=(0,1,1)^T$ .

Dim géométrique de $\lambda=2$ est 1 $<$ 2 (multi algébrique) : $A$ non diagonalisable, mais spectre réel, donc trigonalisable sur $\mathbb{R}$ .

3. Trigonalisation. On cherche $u$ tel que $(A-2I)u=v=(1,1,0)^T$ . Une solution : $u=(1,0,0)^T$ . Base $\mathcal{B}=(v,u,w)$ , dans cette base : $Av=2v$ , $Au=v+2u$ , $Aw=w$ . D'où $T = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad m=1.$ Matrice de passage $P=(v|u|w)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

4. Puissances. $T=D+N$ avec $D=\mathrm{diag}(2,2,1)$ et $N$ nilpotente ( $N^2=0$ ), $DN=ND$ . Binôme : $T^n = D^n + nD^{n-1}N = \begin{pmatrix}2^n & n\cdot 2^{n-1} & 0\\ 0 & 2^n & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$ Et $A^n = P\,T^n P^{-1}$ .

5. Suites. Le système est $X_{n+1} = A X_n$ avec $X_n=(u_n,v_n,w_n)^T$ . Donc $X_n = A^n X_0$ . Les termes $u_n,v_n,w_n$ s'expriment comme combinaisons de $2^n$ , $n\cdot 2^{n-1}$ et $1$ avec coefficients qui dépendent de $u_0,v_0,w_0$ (via $P$ et $P^{-1}$ ).