مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ferhat Abbas

التمرين 1

Exercice 1 (Sétif 2023) — Endomorphismes qui commutent : $u\circ f + v\circ g = \mathrm{id}_E$

#endomorphismes#noyaux#images#somme directe

Soient $E$ un espace vectoriel et $u,v,f,g$ quatre endomorphismes de $E$ qui deux à deux commutent, et vérifient $u\circ f + v\circ g = \mathrm{id}_E$ .

Montrer que : $\ker f \cap \ker g = \{0\}$ et $E = \mathrm{Im}\,f + \mathrm{Im}\,g$ .
Montrer que : $\ker(f\circ g) = \ker f \oplus \ker g$ et $\mathrm{Im}(f\circ g) = \mathrm{Im}\,f \cap \mathrm{Im}\,g$ .
On suppose de plus que $f\circ g = 0$ . Montrer que : $E = \ker f \oplus \ker g = \mathrm{Im}\,f \oplus \mathrm{Im}\,g$ , $\ker f = \mathrm{Im}\,g$ , $\ker g = \mathrm{Im}\,f$ .

Analogue opératoriel de l'identité de Bézout : $uf+vg=\mathrm{id}$ donne des projecteurs $p_1=uf$ , $p_2=vg$ . Quand $fg=0$ , on obtient une décomposition en somme directe avec échange parfait des noyaux et des images.

◀الحل

Intersection : $x\in\ker f\cap\ker g \Rightarrow x=u(f(x))+v(g(x))=0$ . Somme des images : $x = u(f(x))+v(g(x)) = f(u(x))+g(v(x))\in\mathrm{Im}\,f+\mathrm{Im}\,g$ (par commutation).
Inclusion $\supseteq$ immédiate. Réciproquement si $fg(x)=0$ , posons $x_1=v(g(x))$ et $x_2=u(f(x))$ . Alors $f(x_1)=v(fg(x))=0$ donc $x_1\in\ker f$ ; $g(x_2)=u(gf(x))=u(fg(x))=0$ donc $x_2\in\ker g$ . Et $x_1+x_2 = uf(x)+vg(x)=x$ . Somme directe par 1).

Pour l'image : $\mathrm{Im}(fg)\subseteq\mathrm{Im}\,f\cap\mathrm{Im}\,g$ (car $fg=gf$ ). Réciproquement si $y=f(a)=g(b)$ : $y = uf(y)+vg(y) = ufg(b)+vgf(a) = fg(u(b)+v(a))\in\mathrm{Im}(fg)$ .

Si $fg=0$ : $\ker(fg)=E$ , donc $E=\ker f\oplus\ker g$ . Comme $gf=fg=0$ , $\mathrm{Im}\,f\subseteq\ker g$ et $\mathrm{Im}\,g\subseteq\ker f$ . Par les dimensions (rang), $\mathrm{Im}\,f=\ker g$ et $\mathrm{Im}\,g=\ker f$ , d'où $E=\mathrm{Im}\,f\oplus\mathrm{Im}\,g$ .

التمرين 2

Exercice 2 (Sétif 2023) — Matrice alternée $2n\times 2n$

#matrices#rang#valeurs propres#diagonalisation

Soient $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $|a|\ne|b|$ . On considère la matrice carrée de taille $2n$ suivante : $A = \begin{pmatrix} a & b & a & b & \cdots \\ b & a & b & a & \cdots \\ a & b & a & b & \cdots \\ b & a & b & a & \cdots \\ \vdots & & & & \ddots \end{pmatrix}$

Calculer le rang de $A$ . En déduire que si $n>1$ , alors $0$ est une valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres. En déduire que $A$ est diagonalisable.

Astuce clé : repérer la structure $A = \alpha uu^T + \beta uw^T + \gamma wu^T + \delta ww^T$ pour identifier le rang. Les vecteurs propres sont naturellement $u\pm w$ (base symétrique/antisymétrique).

◀الحل

Posons $u=(1,0,1,0,\dots,1,0)^T$ , $w=(0,1,0,1,\dots,0,1)^T$ . Les lignes impaires de $A$ valent $a u^T+b w^T$ , les paires $b u^T + a w^T$ . Toutes les lignes vivent dans $\mathrm{Vect}(u^T,w^T)$ , donc $\mathrm{rg}(A)\le 2$ . Comme $|a|\ne|b|$ , $\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$ inversible, donc $\mathrm{rg}(A)=2$ . Pour $n>1$ : $\dim\ker A=2n-2\ge 2$ , donc 0 valeur propre de multiplicité géométrique $2n-2$ .
Cherchons vecteurs propres du type $u+\alpha w$ . Un calcul donne $A(u+\alpha w)=n(a+\alpha b)u+n(b+\alpha a)w$ . Pour être propre : $\alpha^2=1$ , soit $\alpha=\pm 1$ .

$\alpha=1$ : $A(u+w)=n(a+b)(u+w)$ , valeur propre $\lambda_1=n(a+b)$ .
$\alpha=-1$ : $A(u-w)=n(a-b)(u-w)$ , valeur propre $\lambda_2=n(a-b)$ .

Comme $|a|\ne|b|$ , $\lambda_1\ne\lambda_2$ et tous deux non nuls. Total : $(2n-2)+1+1=2n$ , $A$ diagonalisable.

التمرين 3

Exercice 3 (Sétif 2023) — Dérivation et multiplication par $X$ sur $\mathbb{R}[X]_d$

#polynômes#applications linéaires#matrices#opérateur d'Euler

Notons $\mathbb{R}[X]_d$ l'espace vectoriel des applications polynomiales de degré inférieur ou égal à $d$ . Dans ce qui suit les coordonnées seront relatives à la base canonique $B_d$ de $\mathbb{R}[X]_d$ .

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}[X]_4$ dans $\mathbb{R}[X]_3$ qui à $P$ associe $P'$ .

a. Prouver que $f$ est linéaire.

b. Donner la matrice de $f$ dans les bases $B_4$ et $B_3$ .

Soit $g$ l'application linéaire de $\mathbb{R}[X]_3$ dans $\mathbb{R}[X]_4$ définie par $g(P) = XP$ .

Donner la matrice de $g$ dans les bases $B_3$ et $B_4$ .

Donner la matrice de $g\circ f$ dans la base $B_4$ .
Soit $\lambda\in\mathbb{R}$ . Discuter suivant la valeur de $\lambda$ la dimension du noyau de $g\circ f - \lambda\,\mathrm{Id}_{\mathbb{R}[X]_4}$ .

$g\circ f$ est l'opérateur d'Euler $XP'(X)$ , diagonal dans la base canonique avec valeurs propres $0,1,\dots,d$ et vecteurs propres $X^k$ .

◀الحل

$B_4=(1,X,X^2,X^3,X^4)$ , $B_3=(1,X,X^2,X^3)$ .

1a. Linéarité immédiate.

1b. $[f]$ de taille $4\times 5$ : $[f] = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}.$

$[g]$ de taille $5\times 4$ : $[g] = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$
$g\circ f(P) = XP'$ , agit sur $X^k$ par $k X^k$ . Matrice diagonale : $[g\circ f] = \mathrm{diag}(0,1,2,3,4).$
$g\circ f - \lambda\mathrm{Id}=\mathrm{diag}(-\lambda,1-\lambda,2-\lambda,3-\lambda,4-\lambda)$ . Donc :

Si $\lambda\in\{0,1,2,3,4\}$ : $\dim\ker=1$ .
Sinon : $\dim\ker=0$ (opérateur bijectif).