مسابقة دكتوراه 2026 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

Concours national d'accès au doctorat en Mathématiques au titre de l'année 2025-2026 — Filière Mathématiques, Spécialité Mathématiques Appliquées — Épreuve : Méthode d'analyse fonctionnelle, Introduction aux problèmes d'évolution, Méthodes fonctionnelles et numériques en mécanique, Université Ferhat Abbas - Sétif 1, Faculty of Sciences, Department of Mathematics — Date Samedi 24 janvier 2026 — Coefficient 3 — Durée 2h (15h-17h).

التمرين 1

Exercice 1 — Convergence de la solution d'une EDP parabolique vers l'état stationnaire

#parabolic-pde#stationary-solution#sobolev-spaces#energy-method

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ un ouvert borné de frontière $\Gamma = \partial\Omega$ de classe $C^2$ . On note $\Omega_1 = ]0,+\infty[ \times \Omega$ et $\Sigma = ]0,+\infty[ \times \Gamma$ . On étudie le comportement de $u \in \mathcal{D}'(]0,+\infty[ \times \Omega)$ solution de :

\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = f \quad \text{dans } \Omega_1,

u(t,x) = g(x) \quad \text{sur } \Sigma,

u(0,x) = u_0(x) \quad \text{dans } \Omega.

Supposons que le problème admet une solution unique dans $C^{1,2}$ . Soit $u_*$ l'unique solution du problème aux limites $(\mathcal{P}_*) : -\Delta u_* = f$ dans $\Omega$ , $u_* = g$ sur $\Gamma$ . En posant $v(t,x) = u(t,x) - u_*(x)$ : ① Montrer que $t \mapsto \|u(t,\cdot)\|_{L^2(\Omega)}$ est décroissante et que $|\nabla v| \in L^2(]0,+\infty[ \times \Omega)$ . ② Montrer que $t \mapsto \|\nabla v(t,\cdot)\|_{L^2(\Omega)}$ est décroissante. ③ Supposer que $\lim_{t \to +\infty} \|\nabla v(t,\cdot)\|_{L^2} \to 0$ . Montrer que $u \to u_*$ quand $t \to +\infty$ .

◀الحل

①

$v$ vérifie $\partial_t v - \Delta v = 0$ dans $\Omega_1$ , $v = 0$ sur $\Sigma$ , $v(0) = u_0 - u_*$ .

Multiplions par $v$ et intégrons : $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|v\|_{L^2}^2 + \|\nabla v\|_{L^2}^2 = 0$ . Donc $\|v\|_{L^2}^2$ est décroissante.

En intégrant en temps : $\frac{1}{2}\|v(0)\|^2 \geq \int_0^T \|\nabla v\|^2 dt$ . Donc $|\nabla v| \in L^2(\Omega_1)$ .

②

Multiplions par $-\Delta v$ (ou $\partial_t v$ ) et intégrons. On obtient $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\nabla v\|^2 + \|\Delta v\|^2 = 0$ , donc $\|\nabla v\|$ est décroissante.

③

Par Poincaré : $\|v(t)\|_{L^2} \leq C\|\nabla v(t)\|_{L^2} \to 0$ . Donc $v \to 0$ dans $L^2$ , i.e. $u \to u_*$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Fonction |x| dans H¹ mais pas dans H²

#sobolev-spaces#weak-derivative#regularity

Soit $\Omega = ]-1,1[$ un ouvert de $\mathbb{R}$ . Montrer que $f \in H^1(]-1,1[)$ et $f(x) = |x|$ et n'est pas dans $H^2(]-1,1[)$ .

◀الحل

La dérivée faible de $|x|$ est $f'(x) = \text{sign}(x) \in L^2(]-1,1[)$ , donc $f \in H^1$ .

La dérivée faible de $\text{sign}(x)$ serait $2\delta_0$ (distribution de Dirac), qui n'est pas dans $L^2$ . Donc $f \notin H^2$ .

\boxed{|x| \in H^1(]-1,1[) \setminus H^2(]-1,1[)}

التمرين 3

Exercice 3 — Forme linéaire sur C[0,1] et norme du dual

#functional-analysis#dual-space#linear-form#operator-norm

Soit $X = C[0,1]$ muni de la norme $\|f\|_\infty = \max_{x \in [0,1]} |f(x)|$ . Définissons

\varphi(f) = \int_0^1 f(x) dx.

Montrer que $\varphi \in X'$ .
Calculer $|\varphi|$ .

◀الحل

1.

$|\varphi(f)| = |\int_0^1 f(x) dx| \leq \int_0^1 |f(x)| dx \leq \|f\|_\infty$ . Donc $\varphi$ est linéaire continue.

2.

$|\varphi| \leq 1$ par l'estimation ci-dessus. Pour $f \equiv 1$ : $\varphi(f) = 1 = \|f\|_\infty$ . Donc $|\varphi| = 1$ .

\boxed{|\varphi| = 1}

التمرين 4

Exercice 4 — Endomorphisme anti-symétrique en dimension 3

#linear-algebra#anti-symmetric#eigenvalues#kernel-image

Soit $E$ un espace de dimension 3 muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $u$ un endomorphisme de $E$ .

Montrer que pour tout $(x,y) \in E^2$ , $\langle u(x), y \rangle = -\langle x, u(y) \rangle$ . On pourra utiliser $z = x+y$ et calculer $\langle u(z), z \rangle$ .
(a) Démontrer que $0$ est la seule valeur propre réelle possible de $u$ . (b) Soit $P_u(X)$ le polynôme caractéristique de $u$ . $\deg P_u = 3$ , donc il admet au moins une racine réelle. En déduire que $P_u(X) = XR(X)$ où $R(X)$ est de degré 2 sans racines réelles. (c) Montrer que $\ker(u)$ est de dimension 1. Quelle est la dimension de $\text{Im}(u)$ ?
(a) Démontrer que si $x \in \ker(u)$ et $y \in \text{Im}(u)$ alors $\langle x, y \rangle = 0$ . (b) En déduire que $E$ est somme directe de $\ker(u)$ et $\text{Im}(u)$ .

◀الحل

1.

$\langle u(z), z \rangle = \langle u(x+y), x+y \rangle = \langle u(x),x \rangle + \langle u(x),y \rangle + \langle u(y),x \rangle + \langle u(y),y \rangle$ . Si $u$ est anti-symétrique : $\langle u(x),x \rangle = 0$ pour tout $x$ (en effet $\langle u(x),x \rangle = -\langle x, u(x) \rangle = -\langle u(x),x \rangle$ ). Donc $\langle u(x),y \rangle + \langle u(y),x \rangle = 0$ .

2.a.

Si $u(x) = \lambda x$ : $\lambda\|x\|^2 = \langle u(x),x \rangle = 0$ . Donc $\lambda = 0$ .

2.b.

$P_u$ est de degré 3, a au moins une racine réelle, qui doit être 0. Les deux autres racines sont complexes conjuguées (polynôme réel). $P_u(X) = XR(X)$ .

2.c.

$0$ est valeur propre de multiplicité algébrique 1 (sinon $R$ aurait aussi la racine 0). Donc $\dim\ker(u) = 1$ et $\dim\text{Im}(u) = 2$ .

3.a.

Si $y = u(w)$ et $x \in \ker(u)$ : $\langle x, y \rangle = \langle x, u(w) \rangle = -\langle u(x), w \rangle = 0$ .

3.b.

$\ker(u) \cap \text{Im}(u) = \{0\}$ (car tout vecteur de l'intersection serait orthogonal à lui-même). Et $\dim\ker(u) + \dim\text{Im}(u) = 3 = \dim E$ .

\boxed{E = \ker(u) \oplus \text{Im}(u)}