مسابقة دكتوراه 2017 — Université Frères Mentouri

التمرين 1

Exercice 1 — Puissances successives de la matrice M(a)

#algèbre linéaire#matrices#valeurs propres#projecteurs#analyse numérique

Dans cet exercice on étudie l'évolution au cours du temps d'un titre dans une bourse de valeurs.

Partie 1

Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice : $M(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}$ où $a$ représente un nombre réel.

Montrer que, pour tous réels $a, b$ , on a : $M(a)\cdot M(b) = M(a+b-3ab)$ .
En déduire les valeurs de $a$ pour lesquelles la matrice $M(a)$ est inversible et exprimer son inverse.
Déterminer le réel $a_0$ non nul, tel que : $[M(a_0)]^2 = M(a_0)$ .
On considère les matrices : $P = M(a_0)$ et $Q = I - P$ , où $I$ désigne la matrice carrée unité d'ordre 3.

a) Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ , que l'on exprimera en fonction de $a$ , tel que : $M(a) = P + \alpha Q$ .

b) Calculer $P^2, QP, PQ, Q^2$ .

c) Pour tout entier naturel $n$ , non nul, montrer que $[M(a)]^n$ s'écrit comme combinaison linéaire de $P$ et $Q$ .

d) Expliciter alors la matrice $[M(a)]^n$ .

Astuce clé : décomposer M(a) = (1-3a)I + aJ avec J la matrice 3×3 remplie de 1 (J²=3J). Cela ramène tout le calcul matriciel (produit, inverse, puissance n-ième) à de l'algèbre scalaire sur (1-3a), et fait apparaître naturellement les projecteurs complémentaires P et Q = I-P.

◀الحل

Idée centrale : écrire $M(a) = (1-3a)I + aJ$ , où $J$ est la matrice $3\times 3$ remplie de 1 (donc $J^2 = 3J$ ). En effet, la diagonale de $(1-3a)I+aJ$ vaut $(1-3a)+a=1-2a$ et les termes hors-diagonale valent $a$ , ce qui correspond à $M(a)$ .

$M(a)M(b) = [(1-3a)I+aJ][(1-3b)I+bJ] = (1-3a)(1-3b)I + [b(1-3a)+a(1-3b)]J + ab\,J^2$ . Comme $J^2=3J$ : $= (1-3a)(1-3b)I + [a+b-3ab]J$ . Or $(1-3a)(1-3b) = 1-3(a+b)+9ab = 1-3(a+b-3ab)$ . Donc $M(a)M(b) = (1-3c)I+cJ = M(c)$ avec $c=a+b-3ab$ , soit $M(a)M(b)=M(a+b-3ab)$ .
$J$ a pour valeurs propres 3 (vecteur propre $(1,1,1)$ ) et 0 (multiplicité 2, sous-espace orthogonal). Donc $M(a)$ a pour valeurs propres : $1$ (associée à $(1,1,1)$ , car $(1-3a)+3a=1$ ) et $1-3a$ (multiplicité 2). $M(a)$ est inversible ssi $a\neq 1/3$ . Pour l'inverse : on cherche $b$ tel que $a+b-3ab=0$ (car $M(0)=I$ ), soit $b=\dfrac{a}{3a-1}$ . Donc $M(a)^{-1}=M\!\left(\dfrac{a}{3a-1}\right)$ , pour $a\neq 1/3$ .
On veut $M(a_0)^2=M(a_0)$ , i.e. $M(2a_0-3a_0^2)=M(a_0)$ , donc $2a_0-3a_0^2=a_0$ , soit $a_0(1-3a_0)=0$ . Comme $a_0\neq 0$ , on a $a_0=1/3$ .
$P=M(1/3)=(1-1)I+\tfrac13 J=\tfrac13 J$ , donc $J=3P$ . Alors $M(a)=(1-3a)I+3aP$ . En écrivant $I=P+Q$ : $M(a)=(1-3a)(P+Q)+3aP=[(1-3a)+3a]P+(1-3a)Q = P+(1-3a)Q$ .

a) Donc $\alpha = 1-3a$ .

b) Comme $a_0=1/3$ annule $M(a_0)^2=M(a_0)$ , $P$ est idempotent : $P^2=P$ . Alors $Q^2=(I-P)^2=I-2P+P^2=I-P=Q$ . $PQ=P(I-P)=P-P^2=0$ et $QP=(I-P)P=P-P^2=0$ . Donc $P^2=P$ , $Q^2=Q$ , $PQ=QP=0$ ( $P,Q$ sont des projecteurs complémentaires).

c) Puisque $M(a)=P+\alpha Q$ avec $PQ=QP=0$ , $P^2=P$ , $Q^2=Q$ , tous les termes croisés du binôme s'annulent : $[M(a)]^n=(P+\alpha Q)^n = P^n+\alpha^n Q^n = P+\alpha^n Q = P+(1-3a)^n Q$ , pour tout $n\ge1$ (récurrence immédiate en multipliant par $M(a)$ à chaque étape).

d) Avec $P=\tfrac13 J$ (matrice dont toutes les entrées valent $1/3$ ) et $Q=I-P$ : $[M(a)]^n = (1-3a)^n I + [1-(1-3a)^n]P$ . Explicitement, les termes diagonaux valent $\tfrac13+\tfrac23(1-3a)^n$ et les termes hors-diagonale valent $\tfrac13-\tfrac13(1-3a)^n = \tfrac13\big[1-(1-3a)^n\big]$ .