مسابقة دكتوراه 2023 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 01

Partie 1 : l'inégalité

Posons $g(x)=e^x-1-x$. Alors $g(0)=0$ et $g'(x)=e^x-1\ge0$ sur $[0,1]$, donc $g\ge0$ : c'est l'inégalité de gauche.

Pour la droite, posons $h(x)=2x^2-(e^x-1-x)$. Alors $h(0)=0$, $h'(x)=4x-e^x+1$, $h'(0)=0$, et $h''(x)=4-e^x>0$ sur $[0,1]$ (car $e^x\le e<4$). Donc $h'$ est croissante à partir de $0$, d'où $h'\ge0$, puis $h$ croissante à partir de $0$, donc $h\ge0$. D'où $e^x-1-x\le2x^2$.

Partie 2

Avec $t=a^{-nx}>0$, on a $f_n(x)=e^{t}-1=t+(e^t-1-t)$, donc d'après la Partie 1 (valable pour $t\in[0,1]$, ce qui a lieu dès que $x\ge0$) : $a^{-nx}\le f_n(x)\le a^{-nx}+2a^{-2nx}.$

1. Domaine de convergence simple. Pour $x\le0$, $a^{-nx}=a^{n|x|}\not\to0$ donc $f_n\not\to0$ : divergence. Pour $x>0$, $f_n(x)\le a^{-nx}+2a^{-2nx}$, termes de deux séries géométriques de raisons $a^{-x}<1$ et $a^{-2x}<1$ : convergence. Donc $D=\,]0,+\infty[.$

2. Convergence normale sur $[\delta,+\infty[$. Pour $x\ge\delta>0$, $f_n$ est décroissante en $x$, donc $\sup_{x\ge\delta}f_n(x)=f_n(\delta)\le a^{-n\delta}+2a^{-2n\delta}.$ Ce majorant est le terme général d'une série convergente ; la convergence est normale sur $[\delta,+\infty[$.

3. Continuité de $S$. Chaque $f_n$ est continue, et la convergence est normale (donc uniforme) sur tout $[\delta,+\infty[$ avec $\delta>0$. Comme tout point de $D=\,]0,+\infty[$ appartient à un tel intervalle, $S$ est continue sur $D$.

4. Équivalent en $+\infty$. Le terme dominant est celui de plus petit indice $n=1$ : $f_1(x)=e^{a^{-x}}-1\sim a^{-x}$ quand $x\to+\infty$. Les autres termes sont dominés par $\sum_{n\ge2}(a^{-nx}+2a^{-2nx})=o(a^{-x})$. Donc $\boxed{\,S(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}a^{-x}.\,}$

1. $T$ non continue pour $N_1$

Pour $P_n=X^n$ : $N_1(X^n)=1$ mais $T(X^n)=nX^n$, donc $N_1(T(X^n))=n$. Le rapport $N_1(TP_n)/N_1(P_n)=n\to+\infty$ : $T$ est non bornée, donc non continue pour $N_1$.

2. Bijection de $F$

Un élément de $F$ s'écrit $P=\sum_{k\ge1}a_kX^k$ et $T(P)=\sum_{k\ge1}k\,a_kX^k\in F$. L'application $\sum_{k\ge1}a_kX^k\mapsto\sum_{k\ge1}k a_kX^k$ est clairement bijective sur $F$, d'inverse $\sum_{k\ge1}b_kX^k\mapsto\sum_{k\ge1}\tfrac{b_k}{k}X^k$.

3. Continuité de $T^{-1}$

Pour $Q=\sum_{k\ge1}b_kX^k\in F$, $N_1\big(T^{-1}Q\big)=\sum_{k\ge1}\frac{|b_k|}{k}\le\sum_{k\ge1}|b_k|=N_1(Q).$ Donc $T^{-1}$ est bornée (de norme $\le1$), donc continue.

4. Norme de $T^{-1}$

L'inégalité ci-dessus donne $\|T^{-1}\|\le1$. Pour $Q=X$ ($k=1$) : $T^{-1}(X)=X$, donc $N_1(T^{-1}X)=N_1(X)=1$, et le rapport vaut $1$. Ainsi $\|T^{-1}\|=1.$

5. Comparaison des normes

$N_2\le N_1$ : pour $x\in[0,1]$, $|P(x)|\le\sum_k|a_k||x|^k\le\sum_k|a_k|=N_1(P)$, donc $N_2(P)\le N_1(P)$. Oui.

Pas de constante $C$ : prenons $P_n=(1-X)^n$. Alors $N_2(P_n)=\sup_{[0,1]}|1-x|^n=1$, tandis que $N_1(P_n)=\sum_k\binom{n}{k}=2^n$. Le rapport $N_1/N_2=2^n\to+\infty$ : aucune constante $C$ ne vérifie $N_1\le CN_2$. Les normes ne sont pas équivalentes.

6. Continuité de $A_\alpha$ pour $N_2$

Si $\alpha\in[0,1]$ : $|A_\alpha(P)|=|P(\alpha)|\le\sup_{[0,1]}|P|=N_2(P)$, donc $A_\alpha$ est continue (de norme $\le1$).

Si $\alpha>1$ : avec $P_n=X^n$, $N_2(P_n)=1$ mais $A_\alpha(P_n)=\alpha^n\to+\infty$ : non continue.

Si $\alpha<0$ : avec $P_n=(1-X)^n$, $N_2(P_n)=1$ mais $A_\alpha(P_n)=(1-\alpha)^n\to+\infty$ (car $1-\alpha>1$) : non continue.

$\boxed{A_\alpha\ \text{continue pour } N_2\iff\alpha\in[0,1].}$