مسابقة دكتوراه 2022 — Université Hassiba Benbouali

التمرين 1

Identité de la médiane et caractère préhilbertien

#espace préhilbertien#identité du parallélogramme#produit scalaire#norme

Soit $E$ un $\mathbb R$ -espace vectoriel normé dont la norme vérifie l'identité de la médiane : $\forall x,y\in E,\ \lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2=2(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2)$ (1). On pose $S(x,y)=\tfrac14(\lVert x+y\rVert^2-\lVert x-y\rVert^2)$ (2).

Montrer que $S$ est symétrique, additive par rapport à chaque variable, et $S(x,x)\ge0$ .
Montrer que pour tout rationnel $r\in\mathbb Q$ , $S(rx,y)=rS(x,y)$ .
En déduire $S(rx,y)=rS(x,y)$ pour tout réel $r$ .
En déduire que $S$ définit un produit scalaire sur $E$ dont la norme induite est $\lVert\cdot\rVert$ .

◀الحل

1. Symétrie : $\lVert x+y\rVert=\lVert y+x\rVert$ et $\lVert x-y\rVert=\lVert y-x\rVert$ , donc $S(x,y)=S(y,x)$ . Positivité : $S(x,x)=\tfrac14\lVert 2x\rVert^2=\lVert x\rVert^2\ge0$ . Additivité : en appliquant (1) à $(x+z,y)$ et $(x-z,y)$ puis en soustrayant, on obtient $\lVert x+z+y\rVert^2-\lVert x+z-y\rVert^2+\lVert x-z+y\rVert^2-\lVert x-z-y\rVert^2=2(\lVert x+y\rVert^2-\lVert x-y\rVert^2)$ , ce qui donne $S(x+z,y)+S(x-z,y)=2S(x,y)$ ; avec $S(0,y)=0$ on en déduit $S(x+z,y)=S(x,z)+S(z,y)$ , i.e. l'additivité.

2. L'additivité entraîne $S(nx,y)=nS(x,y)$ pour $n\in\mathbb N$ , puis pour $n\in\mathbb Z$ (car $S(-x,y)=-S(x,y)$ ). Pour $r=p/q$ , $qS((p/q)x,y)=S(px,y)=pS(x,y)$ , d'où $S(rx,y)=rS(x,y)$ .

3. $r\mapsto S(rx,y)=\tfrac14(\lVert rx+y\rVert^2-\lVert rx-y\rVert^2)$ est continue (la norme est continue), et coïncide avec $r\mapsto rS(x,y)$ sur $\mathbb Q$ dense dans $\mathbb R$ : elles sont donc égales sur $\mathbb R$ .

4. $S$ est symétrique, bilinéaire (additivité + homogénéité réelle) et définie positive : $S(x,x)=\lVert x\rVert^2>0$ pour $x\neq0$ . C'est donc un produit scalaire, et la norme induite est $\sqrt{S(x,x)}=\lVert x\rVert$ . Ainsi $E$ est préhilbertien.

التمرين 2

Distance à une partie, fonction séparante et lemme d'Urysohn métrique

#espace métrique#distance à une partie#continuité#ouverts disjoints

Soit $(E,d)$ un espace métrique et $A,B$ deux parties de $E$ .

Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in\bar A$ .
Montrer que si $\bar A\cap\bar B=\varnothing$ , alors $h(x)=\dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ est continue sur $E$ . Que vaut-elle sur $A$ et sur $B$ ?
En déduire l'existence de deux ouverts disjoints $U,V$ de $E$ tels que $\bar A\subset U$ et $\bar B\subset V$ .

◀الحل

1. $d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)=0$ ssi il existe une suite $(a_n)$ de $A$ telle que $d(x,a_n)\to0$ , i.e. $a_n\to x$ , ce qui équivaut à $x\in\bar A$ .

2. Le dénominateur ne s'annule jamais : si $d(x,A)+d(x,B)=0$ alors $x\in\bar A\cap\bar B=\varnothing$ , absurde. Comme $x\mapsto d(x,A)$ est $1$ -lipschitzienne (donc continue), $h$ est continue comme quotient à dénominateur ne s'annulant pas. Sur $A$ : $d(x,A)=0$ donc $h=0$ ; sur $B$ : $d(x,B)=0$ donc $h=1$ .

3. Posons $U=h^{-1}([0,\tfrac12))$ et $V=h^{-1}((\tfrac12,1])$ : ouverts (images réciproques d'ouverts par $h$ continue), disjoints. Comme $h=0$ sur $A$ (et par continuité $h=0$ sur $\bar A$ ) on a $\bar A\subset U$ ; de même $h=1$ sur $\bar B$ donne $\bar B\subset V$ .

التمرين 3

Fonction de deux variables : continuité, dérivées partielles et classe C^1

#fonctions de deux variables#continuité#dérivées partielles#classe C1

On considère sur $\mathbb R^2$ la fonction $f(x,y)=x^2 y\sin(1/x)$ si $x\neq0$ , et $f(x,y)=0$ si $x=0$ .

Étudier la continuité de $f$ .
Étudier l'existence des dérivées partielles de $f$ .
Calculer les dérivées partielles là où elles existent.
Montrer que $f$ n'est pas de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$ .
Donner le domaine $D$ de $\mathbb R^2$ sur lequel $f$ est de classe $C^1$ .

◀الحل

1. Pour $x\neq0$ , $f$ est continue (produit de fonctions continues). En un point $(0,y_0)$ : $|f(x,y)|\le x^2|y|\to0$ lorsque $(x,y)\to(0,y_0)$ , et $f(0,y_0)=0$ . Donc $f$ est continue sur $\mathbb R^2$ .

2-3. Pour $x\neq0$ : $\dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy\sin(1/x)-y\cos(1/x)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}=x^2\sin(1/x)$ . En $x=0$ : $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\lim_{h\to0}\dfrac{h^2 y\sin(1/h)}{h}=\lim_{h\to0}hy\sin(1/h)=0$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,y)=0$ . Les deux dérivées partielles existent partout.

4. En un point $(0,y)$ avec $y\neq0$ , $\dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy\sin(1/x)-y\cos(1/x)$ n'a pas de limite quand $x\to0$ (le terme $y\cos(1/x)$ oscille). Donc $\partial f/\partial x$ n'est pas continue en $(0,y)$ , $y\neq0$ : $f$ n'est pas $C^1$ sur $\mathbb R^2$ .

5. Sur $\{x\neq0\}$ les dérivées partielles sont continues. En $(0,0)$ : $|2xy\sin(1/x)|\le2|xy|\to0$ et $|y\cos(1/x)|\le|y|\to0$ , donc $\partial f/\partial x\to0=\partial f/\partial x(0,0)$ , et $\partial f/\partial y=x^2\sin(1/x)\to0$ : $f$ est $C^1$ en $(0,0)$ . Ainsi $D=\{(x,y):x\neq0\}\cup\{(0,0)\}=\mathbb R^2\setminus\{(0,y):y\neq0\}$ .

التمرين 4

Convergence simple et uniforme de deux séries de fonctions

#séries de fonctions#convergence simple#convergence uniforme#séries alternées#série télescopique

Étudier la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ dans les cas suivants :

$f_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{x^2+n}$ , $x\in\mathbb R$ , $n\ge1$ .
$f_n(x)=\dfrac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)}$ , $x\ge0$ , $n\ge1$ .

◀الحل

Cas 1. Pour $x$ fixé, $\dfrac{1}{x^2+n}$ décroît vers $0$ : le critère des séries alternées donne la convergence simple sur $\mathbb R$ . Le reste vérifie $|R_n(x)|\le|f_{n+1}(x)|=\dfrac{1}{x^2+n+1}\le\dfrac{1}{n+1}\to0$ , borne indépendante de $x$ : la convergence est uniforme sur $\mathbb R$ . (La série n'est pas normalement convergente car $\sum\frac{1}{x^2+n}$ diverge.)

Cas 2. Décomposition télescopique : $f_n(x)=\dfrac{1}{1+nx}-\dfrac{1}{1+(n+1)x}$ , donc $S_N(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{1+(N+1)x}$ . Limite simple : pour $x>0$ , $S_N(x)\to\dfrac{1}{1+x}$ ; pour $x=0$ , tous les termes sont nuls donc $S(0)=0$ . La somme $S$ est donc discontinue en $0$ (limite $1$ à droite, valeur $0$ ), alors que chaque $S_N$ est continue : la convergence n'est pas uniforme sur $[0,+\infty[$ . Elle est en revanche uniforme sur tout $[a,+\infty[$ avec $a>0$ .