مسابقة دكتوراه 2022 — Université Hassiba Benbouali

التمرين 1

Injection canonique dans le bidual (isométrie)

#analyse fonctionnelle#espace de Banach#dual#bidual#Hahn-Banach

Soit $\mathcal X$ un espace de Banach complexe, de dual topologique $\mathcal X'=\mathcal L(\mathcal X,\mathbb C)$ . On note $\mathcal X''=\mathcal L(\mathcal X',\mathbb C)$ le bidual. On considère l'application $F:\mathcal X\to\mathcal X''$ , $x\mapsto F_x$ , où $F_x:\mathcal X'\to\mathbb C$ , $F_x(\varphi)=\varphi(x)$ , $\varphi\in\mathcal X'$ .

Montrer que pour tout $x\in\mathcal X$ , $F_x$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal X'$ .
Montrer que $F:\mathcal X\to\mathcal X''$ est une isométrie, i.e. $\lVert F_x\rVert=\lVert x\rVert$ pour tout $x\in\mathcal X$ .

◀الحل

1. Linéarité : $F_x(\alpha\varphi+\psi)=(\alpha\varphi+\psi)(x)=\alpha\varphi(x)+\psi(x)=\alpha F_x(\varphi)+F_x(\psi)$ .

Continuité : $|F_x(\varphi)|=|\varphi(x)|\le\lVert\varphi\rVert\,\lVert x\rVert$ , donc $F_x\in\mathcal X''$ avec $\lVert F_x\rVert\le\lVert x\rVert$ .

2. L'inégalité précédente donne $\lVert F_x\rVert\le\lVert x\rVert$ . Pour $x=0$ l'égalité est claire. Pour $x\neq0$ , le théorème de Hahn-Banach fournit $\varphi\in\mathcal X'$ avec $\lVert\varphi\rVert=1$ et $\varphi(x)=\lVert x\rVert$ . Alors $\lVert F_x\rVert=\sup_{\lVert\varphi\rVert\le1}|\varphi(x)|\ge|\varphi(x)|=\lVert x\rVert$ . D'où $\lVert F_x\rVert=\lVert x\rVert$ : $F$ est une isométrie linéaire (donc injective).

التمرين 2

Opérateur de symétrisation sur L^2(R)

#opérateur borné#L2#auto-adjoint#projection orthogonale#spectre

Soit $E=L^2(\mathbb R)$ et $A:E\to E$ défini par $(Af)(t)=\tfrac12(f(t)+f(-t))$ , $t\in\mathbb R$ .

Montrer que $A$ est borné.
Calculer la norme de $A$ . (Indication : $\int_{\mathbb R}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$ .)
Montrer que $A$ est auto-adjoint.
Déterminer le spectre $\sigma(A)$ de $A$ .

◀الحل

1. $|(Af)(t)|\le\tfrac12(|f(t)|+|f(-t)|)$ , d'où par Minkowski $\lVert Af\rVert_2\le\tfrac12(\lVert f\rVert_2+\lVert f(-\cdot)\rVert_2)=\lVert f\rVert_2$ (le changement $t\to-t$ préserve la norme $L^2$ ). Donc $A$ est borné et $\lVert A\rVert\le1$ .

2. Pour toute fonction paire $f\neq0$ , $Af=f$ , donc $\lVert Af\rVert=\lVert f\rVert$ : $\lVert A\rVert=1$ .

3. $\langle Af,g\rangle=\int\tfrac12(f(t)+f(-t))\overline{g(t)}\,dt$ . Le changement $t\to-t$ dans le terme en $f(-t)$ donne $\int\tfrac12 f(t)(\overline{g(t)}+\overline{g(-t)})\,dt=\langle f,Ag\rangle$ . Donc $A^*=A$ .

4. On vérifie $A^2=A$ : $Af$ est paire, donc $A(Af)=Af$ . $A$ est donc une projection orthogonale (idempotente et auto-adjointe), non nulle et différente de l'identité. Ses valeurs propres sont $1$ (fonctions paires, sous-espace non nul) et $0$ (fonctions impaires, sous-espace non nul). Ainsi $\sigma(A)=\{0,1\}$ .

التمرين 3

Théorème de Baire, nilpotence ponctuelle et opérateur de dérivation

#théorème de Baire#espace de Banach#sous-espace fermé#nilpotent#R[X]#complétude

On rappelle une version du théorème de Baire : si un espace de Banach est réunion dénombrable de sous-ensembles fermés, alors l'un d'eux est d'intérieur non vide. Soit $E$ un espace de Banach et $F\subset E$ , $F\neq E$ , un sous-espace vectoriel.

Soient $a\in E\setminus\{0\}$ et $r>0$ . Montrer que si $F$ contient la boule ouverte $B(a,r)$ , alors $F$ contient aussi $B(0,r)$ .
En déduire que $F$ est d'intérieur vide.
Soit $T:E\to F$ linéaire continue telle que $\forall x\in E,\ \exists N_x\in\mathbb N:\ T^{N_x}(x)=0$ (1). Montrer, à l'aide de Baire, que $\exists N\in\mathbb N:\ \forall x\in E,\ T^N(x)=0$ (2).
Soit $\mathbb R[X]$ muni de $\lVert P\rVert=\sup_i|a_i|$ . Montrer que $T:P\mapsto P'$ vérifie (1) mais pas (2).
Conclure.

◀الحل

1. Comme $F$ est un sous-espace et $a\in B(a,r)\subset F$ , on a $a\in F$ . Soit $x\in B(0,r)$ , i.e. $\lVert x\rVert<r$ . Posons $y=a+x$ : $\lVert y-a\rVert=\lVert x\rVert<r$ , donc $y\in B(a,r)\subset F$ . Alors $x=y-a\in F$ (différence de deux éléments de $F$ ). D'où $B(0,r)\subset F$ .

2. Si $F$ était d'intérieur non vide, il contiendrait une boule $B(a,r)$ , donc $B(0,r)$ par 1. Pour tout $x\neq0$ , $y=\tfrac r2\tfrac{x}{\lVert x\rVert}\in B(0,r)\subset F$ , donc $x=\tfrac{2\lVert x\rVert}{r}y\in F$ : on aurait $F=E$ , contradiction. Donc $F$ est d'intérieur vide.

3. Posons $F_n=\ker(T^n)$ , fermé car $T$ (donc $T^n$ ) est continue. La condition (1) donne $E=\bigcup_{n\ge1}F_n$ . Par Baire, un $F_N$ est d'intérieur non vide. Or tout sous-espace fermé propre est d'intérieur vide (question 2), donc $F_N=E$ , i.e. $T^N(x)=0$ pour tout $x$ : c'est (2).

4. Pour $P$ de degré $n$ , $T^{n+1}(P)=P^{(n+1)}=0$ , donc (1) est vérifiée (avec $N_P=n+1$ ). Mais pour tout $N$ , en prenant $P_0=X^N$ on a $T^N(P_0)=N!\neq0$ : aucun $N$ ne convient pour tous les polynômes, donc (2) est fausse.

5. L'implication (1) $\Rightarrow$ (2) repose de façon essentielle sur le théorème de Baire, donc sur la complétude de $E$ . L'espace $(\mathbb R[X],\lVert\cdot\rVert)$ n'est pas complet (pas de Banach), Baire ne s'y applique pas, et l'implication tombe en défaut. La complétude est donc une hypothèse indispensable.