مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali

التمرين 1

Exercice 1 (Chlef 2023) — Identité de la médiane dans un espace préhilbertien

#espaces préhilbertiens#identité du parallélogramme#médiane

Soit $H$ un espace préhilbertien réel. Démontrer que pour tous $x,y,z\in H$ : $\|x-z\|^2 + \|y-z\|^2 = 2\left\|\dfrac{x+y}{2}-z\right\|^2 + \dfrac{1}{2}\|x-y\|^2.$ (Identité de la médiane).

Généralisation vectorielle du théorème d'Apollonius : dans un triangle, la somme des carrés de deux côtés est égale à deux fois le carré de la médiane plus la moitié du carré du troisième côté. C'est aussi équivalent à l'identité du parallélogramme (qui caractérise les normes hilbertiennes).

◀الحل

Posons $m=(x+y)/2$ . On écrit $x-z = (x-m)+(m-z)$ et $y-z = (y-m)+(m-z)$ . Or $x-m=(x-y)/2$ et $y-m=(y-x)/2=-(x-y)/2$ .

Développons : $\|x-z\|^2 = \|(x-y)/2\|^2 + 2\langle (x-y)/2, m-z\rangle + \|m-z\|^2$ . $\|y-z\|^2 = \|(x-y)/2\|^2 - 2\langle (x-y)/2, m-z\rangle + \|m-z\|^2$ .

Sommons : $\|x-z\|^2 + \|y-z\|^2 = 2\|(x-y)/2\|^2 + 2\|m-z\|^2 = \dfrac{1}{2}\|x-y\|^2 + 2\|m-z\|^2$ .

D'où la formule.

التمرين 2

Exercice 2 (Chlef 2023) — Espaces métriques : fonction $h(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$

#espaces métriques#distance à un fermé#séparation#lemme d'Urysohn

Soit $(X,d)$ un espace métrique et $A,B$ deux fermés disjoints non vides de $X$ .

Montrer que la fonction $x\mapsto d(x,A)$ est $1$ -Lipschitzienne.
Montrer que $d(x,A)+d(x,B)>0$ pour tout $x\in X$ .
On définit $h:X\to[0,1]$ par $h(x) = \dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ . Montrer que $h$ est continue, que $h(x)=0$ ssi $x\in A$ et $h(x)=1$ ssi $x\in B$ .
En déduire qu'il existe deux ouverts disjoints $U,V$ tels que $A\subset U$ et $B\subset V$ (normalité de tout espace métrique).

La fonction $h$ est une fonction d'Urysohn explicite dans le cadre métrique. Elle prouve que tout espace métrique est normal (T4) : deux fermés disjoints peuvent être séparés par des ouverts (et même par une fonction continue). Dans le cas topologique général, l'existence d'une telle fonction est le lemme d'Urysohn.

◀الحل

Pour $x,y\in X$ et $a\in A$ : $d(x,A)\le d(x,a)\le d(x,y)+d(y,a)$ . En prenant l'inf sur $a\in A$ : $d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)$ , soit $d(x,A)-d(y,A)\le d(x,y)$ . Par symétrie, $|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)$ : Lipschitz de constante 1.
Si $d(x,A)+d(x,B)=0$ , alors $d(x,A)=d(x,B)=0$ . Comme $A,B$ fermés : $x\in A\cap B=\emptyset$ , contradiction. Donc $d(x,A)+d(x,B)>0$ .
$h$ est continue comme quotient de fonctions continues avec dénominateur non nul. $h(x)=0\Leftrightarrow d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in \overline{A}=A$ . $h(x)=1\Leftrightarrow d(x,A)=d(x,A)+d(x,B)\Leftrightarrow d(x,B)=0\Leftrightarrow x\in B$ .
Posons $U = h^{-1}([0,1/2[)$ et $V = h^{-1}(]1/2,1])$ . Ce sont deux ouverts (images réciproques d'ouverts par une application continue), disjoints, et $A\subset U$ (car $h=0$ sur $A$ ), $B\subset V$ (car $h=1$ sur $B$ ).

التمرين 3

Exercice 3 (Chlef 2023) — Fonction $x^2 y \sin(1/x)$ sur $\mathbb{R}^2$ : continuité, dérivabilité partielle, différentiabilité

#calcul différentiel#dérivées partielles#différentiabilité#fonctions de plusieurs variables

Soit $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = \begin{cases} x^2 y\sin(1/x) & \text{si } x\ne 0\\ 0 & \text{si } x=0.\end{cases}$

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .
Calculer $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ pour $(x,y)\ne (0,y)$ et pour $x=0$ .
Les dérivées partielles sont-elles continues en $(0,0)$ ?
$f$ est-elle différentiable en $(0,0)$ ?

Contre-exemple classique : «continuûment $C^1$ » implique différentiable, mais la réciproque est fausse. Ici on a différentiabilité sans continuité des dérivées partielles.

◀الحل

Continuité : Pour $x\ne 0$ , $f$ est continue comme composée de fonctions continues. En $(0,y_0)$ : $|f(x,y)|=|x|^2|y||\sin(1/x)|\le x^2|y|\to 0$ quand $(x,y)\to (0,y_0)$ . Donc $\lim=0=f(0,y_0)$ , continue.
Dérivées partielles :

Pour $x\ne 0$ : $\partial_x f = 2xy\sin(1/x) + x^2 y\cdot(-1/x^2)\cos(1/x) = 2xy\sin(1/x) - y\cos(1/x)$ . $\partial_y f = x^2\sin(1/x)$ .

En $x=0$ : $\partial_x f(0,y) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,y)-f(0,y)}{h} = \lim_{h\to 0} h y\sin(1/h) = 0$ (car $|hy\sin(1/h)|\le |h||y|\to 0$ ). $\partial_y f(0,y) = \lim_{k\to 0}\dfrac{f(0,y+k)-f(0,y)}{k} = 0$ .

Continuité des dérivées partielles en $(0,0)$ :

$\partial_y f(x,y)=x^2\sin(1/x)$ pour $x\ne 0$ ; $\to 0$ quand $x\to 0$ (car $|x^2\sin(1/x)|\le x^2$ ). $\partial_y f(0,0)=0$ . Continue.

$\partial_x f(x,y) = 2xy\sin(1/x)-y\cos(1/x)$ pour $x\ne 0$ . Le premier terme tend vers 0 mais $y\cos(1/x)$ n'a pas de limite quand $x\to 0$ (à $y\ne 0$ fixé, oscille). Donc $\partial_x f$ n'est pas continue en $(0,0)$ .

Différentiabilité en $(0,0)$ : le candidat différentielle est $df(0,0)(h,k) = h\partial_x f(0,0)+k\partial_y f(0,0)=0$ . Il faut montrer que $\dfrac{f(h,k)-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0$ . Or $|f(h,k)| = h^2|k||\sin(1/h)|\le h^2|k|$ . Donc $\dfrac{|f(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \dfrac{h^2|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le h^2$ (car $|k|\le\sqrt{h^2+k^2}$ ), qui $\to 0$ . Donc $f$ est différentiable en $(0,0)$ même si $\partial_x f$ n'est pas continue en ce point.

التمرين 4

Exercice 4 (Chlef 2023) — Séries de fonctions et convergence

#séries de fonctions#convergence uniforme#convergence normale

Soit la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\ge 1} f_n$ où $f_n(x) = \dfrac{(-1)^n}{n+x^2}$ pour $x\in\mathbb{R}$ .

Montrer que la série converge simplement sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .
La convergence est-elle normale sur $\mathbb{R}$ ?
La somme $S(x)=\sum_{n\ge 1}f_n(x)$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Cas typique montrant que CVU $\not\Rightarrow$ CVN. Les séries alternées fournissent souvent ce genre d'exemples : la structure alternée crée des compensations qui rendent la CVU plus faible que la CVN.

◀الحل

CVS : pour $x$ fixé, $u_n=1/(n+x^2)$ est décroissante et tend vers 0. Par le critère des séries alternées (Leibniz), $\sum(-1)^n u_n$ converge.
CVU : le reste $R_N(x) = \sum_{n\ge N+1}(-1)^n/(n+x^2)$ vérifie $|R_N(x)|\le u_{N+1}(x) = 1/(N+1+x^2)\le 1/(N+1)$ . Donc $\sup_{x\in\mathbb{R}}|R_N(x)|\le 1/(N+1)\to 0$ . CVU sur $\mathbb{R}$ .
CVN : $\|f_n\|_\infty = \sup_x 1/(n+x^2) = 1/n$ (atteint en $x=0$ ). Or $\sum 1/n$ diverge. Donc pas de convergence normale.
Chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ , la CVU implique que $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ .