مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 2سا

Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Concours d'accès au Doctorat 2022-2023, Épreuve Commune, 21/01/2023, Durée 2h

التمرين 1

Exercice 1 (Chlef 2023) — Identité de la médiane dans un préhilbertien

#espaces préhilbertiens#identité du parallélogramme#médiane

Soit $H$ un espace préhilbertien réel. Démontrer que pour tous $x,y,z\in H$ : $\|x-z\|^2 + \|y-z\|^2 = 2\left\|\dfrac{x+y}{2}-z\right\|^2 + \dfrac{1}{2}\|x-y\|^2.$

Théorème d'Apollonius vectoriel. Équivalent à l'identité du parallélogramme qui caractérise les normes hilbertiennes (théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan).

◀الحل

Posons $m=(x+y)/2$ . Écrivons $x-z = (x-m)+(m-z)$ , $y-z=(y-m)+(m-z)$ , avec $x-m=(x-y)/2$ et $y-m=-(x-y)/2$ .

$\|x-z\|^2 = \|(x-y)/2\|^2 + 2\langle (x-y)/2, m-z\rangle + \|m-z\|^2$ . $\|y-z\|^2 = \|(x-y)/2\|^2 - 2\langle (x-y)/2, m-z\rangle + \|m-z\|^2$ .

En sommant : $\|x-z\|^2+\|y-z\|^2 = 2\|(x-y)/2\|^2 + 2\|m-z\|^2 = \dfrac{1}{2}\|x-y\|^2 + 2\|m-z\|^2$ .

التمرين 2

Exercice 2 (Chlef 2023) — Fonction $h(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$

#espaces métriques#distance à un fermé#séparation#normalité

Soit $(X,d)$ un espace métrique et $A,B$ deux fermés disjoints non vides de $X$ .

Montrer que $x\mapsto d(x,A)$ est $1$ -Lipschitzienne.
Montrer que $d(x,A)+d(x,B)>0$ pour tout $x\in X$ .
On définit $h:X\to[0,1]$ par $h(x)=\dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ . Montrer que $h$ est continue, $h=0$ sur $A$ , $h=1$ sur $B$ .
En déduire qu'il existe deux ouverts disjoints $U,V$ tels que $A\subset U$ et $B\subset V$ .

Fonction d'Urysohn explicite dans un espace métrique : montre que tout espace métrique est normal (T4). Sans structure métrique, l'existence est le lemme d'Urysohn.

◀الحل

Pour $a\in A$ : $d(x,A)\le d(x,a)\le d(x,y)+d(y,a)$ . En passant à l'inf sur $a\in A$ : $d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)$ . Symétriquement : $|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)$ .
Si $d(x,A)+d(x,B)=0$ , alors $d(x,A)=d(x,B)=0$ , donc $x\in\overline{A}\cap\overline{B}=A\cap B=\emptyset$ (fermés), contradiction.
$h$ continue comme quotient de fonctions continues (dénominateur strictement positif). $h(x)=0\Leftrightarrow d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in A$ (fermé). $h(x)=1\Leftrightarrow d(x,B)=0\Leftrightarrow x\in B$ .
$U=h^{-1}([0,1/2[)$ et $V=h^{-1}(]1/2,1])$ : ouverts disjoints, $A\subset U$ , $B\subset V$ .

التمرين 3

Exercice 3 (Chlef 2023) — Fonction $x^2 y\sin(1/x)$ : continuité et différentiabilité

#calcul différentiel#dérivées partielles#différentiabilité

Soit $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=x^2 y\sin(1/x)$ si $x\ne 0$ , et $f(0,y)=0$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .
Calculer $\partial_x f$ et $\partial_y f$ pour $x\ne 0$ et pour $x=0$ .
Les dérivées partielles sont-elles continues en $(0,0)$ ?
$f$ est-elle différentiable en $(0,0)$ ?

Contre-exemple important : différentiable mais pas $C^1$ . $C^1$ implique différentiable, la réciproque est fausse.

◀الحل

Pour $x\ne 0$ : $f$ est $C^\infty$ . En $(0,y_0)$ : $|f(x,y)|\le x^2|y|\to 0$ , donc continue.
Pour $x\ne 0$ : $\partial_x f=2xy\sin(1/x)-y\cos(1/x)$ , $\partial_y f=x^2\sin(1/x)$ . En $x=0$ : $\partial_x f(0,y)=\lim_{h\to 0}(hy\sin(1/h))=0$ , $\partial_y f(0,y)=0$ .
$\partial_y f\to 0$ quand $x\to 0$ : continue en $(0,0)$ . $\partial_x f=2xy\sin(1/x)-y\cos(1/x)$ : le second terme $y\cos(1/x)$ oscille (pas de limite en $x=0$ pour $y\ne 0$ ). Donc $\partial_x f$ n'est pas continue en $(0,0)$ .
Candidat : $df(0,0)=0$ . $\dfrac{|f(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \dfrac{h^2|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le h^2\to 0$ . Donc $f$ est différentiable en $(0,0)$ .

التمرين 4

Exercice 4 (Chlef 2023) — Série alternée $\sum(-1)^n/(n+x^2)$

#séries de fonctions#convergence uniforme#convergence normale

Soit $f_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{n+x^2}$ .

Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .
La convergence est-elle normale sur $\mathbb{R}$ ?
$S(x)=\sum_{n\ge 1}f_n(x)$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Exemple typique CVU $\not\Rightarrow$ CVN. La structure alternée crée des compensations exploitées par Leibniz.

◀الحل

À $x$ fixé, $1/(n+x^2)$ décroissante $\to 0$ : Leibniz $\Rightarrow$ CVS.
Reste $|R_N(x)|\le 1/(N+1+x^2)\le 1/(N+1)\to 0$ uniformément. CVU sur $\mathbb{R}$ .
$\|f_n\|_\infty = 1/n$ atteint en $x=0$ . $\sum 1/n$ diverge : pas CVN.
$f_n$ continues, CVU $\Rightarrow S$ continue sur $\mathbb{R}$ .