مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef — الموضوع 05

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1 · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la Formation Doctorale de Mathématiques, Université Hassiba Benbouali - Chlef, Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Département de Mathématiques, Épreuve Commune, Samedi 21 janvier 2023 (Coefficient 01, Durée 1h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Espace préhilbertien et identité du parallélogramme

#functional-analysis#inner-product#normed-spaces#parallelogram-identity

(07 pts) On considère $E$ , un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel muni d'une norme notée $\|.\|$ vérifiant l'identité de la médiane :

$\forall x, y \in E, \quad \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) \quad (1)$

On veut montrer que tout espace vectoriel normé vérifiant cette identité est nécessairement un espace préhilbertien. Pour cela on pose pour $x, y \in E$ :

$S(x, y) = \frac{1}{4}(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2) \quad (2)$

Montrer que $S$ est symétrique, additive relativement à chaque variable et $S(x, x) \geq 0$ pour tout $x \in E$ .
Montrer que pour tout rationnel $r \in \mathbb{Q}$ , on a $S(rx, y) = rS(x, y)$ .
Déduire que $S(rx, y) = rS(x, y)$ pour tout réel $r \in \mathbb{R}$ .
Déduire que $S$ définit bien un produit scalaire sur $E$ et que la norme induite par $S$ est bien $\|.\|$ .

◀الحل

1.

$S(x,y) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2) = S(y,x)$ par symétrie de la norme. $S(x,x) = \frac{1}{4}\|2x\|^2 = \|x\|^2 \geq 0$ . L'additivité découle de l'identité du parallélogramme.

2.

Par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ : $S(nx,y) = nS(x,y)$ . Pour $r = p/q$ : $S(rx,y) = rS(x,y)$ .

3.

Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ et continuité de $S$ (qui découle de la continuité de la norme).

4.

$S$ est bilinéaire, symétrique et définie positive, donc un produit scalaire. $\sqrt{S(x,x)} = \|x\|$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Espace métrique : distance et séparation par ouverts

#metric-spaces#topology#distance-function#separation

(04 pts) On considère $(E, d)$ un espace métrique et $A, B$ deux parties de $E$ .

Montrer que $d(x, A) = 0$ si, et seulement si, $x \in \bar{A}$ .
Montrer que si $\bar{A} \cap \bar{B} = \emptyset$ , alors l'application

$h(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}$

est continue sur $E$ . Que vaut-elle sur $A$ et sur $B$ ? 3. Déduire qu'il existe deux ouverts disjoints $U$ et $V$ de $E$ tels que $\bar{A} \subset U$ et $\bar{B} \subset V$ .

◀الحل

1.

$d(x,A)=0 \iff \inf_{a\in A} d(x,a)=0 \iff$ il existe une suite $(a_n)$ dans $A$ telle que $d(x,a_n)\to 0 \iff x \in \bar{A}$ .

2.

$h$ est bien définie car $d(x,A)+d(x,B) \gt 0$ (sinon $x\in\bar{A}\cap\bar{B}=\emptyset$ ). $h$ est continue comme quotient de fonctions continues. $h=0$ sur $A$ et $h=1$ sur $B$ .

3.

Poser $U = h^{-1}([0, 1/2[)$ et $V = h^{-1}(]1/2, 1])$ . Ce sont des ouverts disjoints avec $\bar{A}\subset U$ et $\bar{B}\subset V$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Continuité et dérivées partielles d'une fonction de deux variables

#multivariable-calculus#partial-derivatives#continuity#differentiability

(06 pts) On considère sur $\mathbb{R}^2$ la fonction $f$ définie par :

$f(x, y) = \begin{cases} x^2 y \sin \frac{1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\\\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

Étudier la continuité de $f$ .
Étudier l'existence des dérivées partielles de $f$ .
Calculer les dérivées partielles de $f$ là où elles existent.
Montrer que $f$ n'est pas de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .
Donner le domaine $D$ de $\mathbb{R}^2$ sur lequel $f$ est de classe $C^1$ .

◀الحل

1.

$|f(x,y)| \leq x^2|y| \to 0$ quand $(x,y) \to (0,y_0)$ , donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

2-3.

Pour $x\neq 0$ : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\sin\frac{1}{x} - y\cos\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2\sin\frac{1}{x}$ . En $(0,y)$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,y) = 0$ .

4.

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy\sin\frac{1}{x} - y\cos\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $(0,y)$ pour $y\neq 0$ car $\cos\frac{1}{x}$ oscille.

5.

$D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \neq 0\}$ .

التمرين 4

Exercice 4 — Convergence simple et uniforme de séries de fonctions

#function-series#pointwise-convergence#uniform-convergence

(03 pts) Étudier la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ dans les cas suivants :

$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x^2 + n}, \quad x \in \mathbb{R} \text{ et } n \geq 1$

$u_n(x) = \frac{x}{(1 + nx)(1 + (n+1)x)}, \quad x \geq 0 \text{ et } n \geq 1$

◀الحل

1.

Pour tout $x$ , $|u_n(x)| \leq \frac{1}{n}$ et la suite est alternée décroissante en valeur absolue, donc convergence simple par le critère de Leibniz. La convergence est uniforme car $\sup_x |u_n(x)| = \frac{1}{n} \to 0$ .

2.

Par décomposition en éléments simples: $u_n(x) = \frac{1}{1+nx} - \frac{1}{1+(n+1)x}$ pour $x \gt 0$ . C'est une série télescopique: $S_N(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1+(N+1)x}$ . Convergence simple vers $\frac{1}{1+x}$ . La convergence n'est pas uniforme sur $[0,+\infty[$ car $\sup_{x\geq 0}|R_N(x)| = 1$ .