مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

Concours d'accès à la Formation Doctorale de Mathématiques — Épreuve de Spécialité Analyse Mathématiques (Sujet 1), Université Hassiba Benbouali de Chlef, Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Département de Mathématiques — Samedi 21/01/2023 — Durée 02h — Coefficient 03.

التمرين 1

Exercice 1 — EDP de transport : méthode des caractéristiques

#pde#method-of-characteristics#transport-equation

En utilisant la méthode des caractéristiques, résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante

(P) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) + a(t)\frac{\partial u}{\partial x}(t,x) = f(t,x), & (t,x) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}, \\\\ u(0,x) = g(x), & x \in \mathbb{R}, \end{cases}

où $a$ , $f$ et $g$ sont des fonctions continues données.

(2 pts) Déduire la solution du problème $(P)$ dans le cas où $a(t) = t$ , $f(t,x) = x$ et $g(x) = x^2$ .

◀الحل

1.

On introduit les courbes caractéristiques : $t(\tau,s) = \tau$ , $x(\tau,s) = \int_0^\tau a(\alpha)d\alpha + s$ .

La solution générale est :

u(t,x) = g\left(x - \int_0^t a(\alpha)d\alpha\right) + \int_0^t F\left(\alpha, x + \int_\alpha^t a(\sigma)d\sigma\right)d\alpha.

2.

Avec $a(t) = t$ , $f(t,x) = x$ , $g(x) = x^2$ :

u(t,x) = \left(x - \frac{t^2}{2}\right)^2 + \int_0^t \left(x + \frac{1}{2}(\alpha^2 - t^2)\right)d\alpha = \left(x - \frac{t^2}{2}\right)^2 + t\left(x - \frac{1}{2}t^2\right) + \frac{1}{6}t^3.

\boxed{u(t,x) = \left(x - \frac{t^2}{2}\right)^2 + t\left(x - \frac{t^2}{2}\right) + \frac{t^3}{6}}

التمرين 2

Exercice 2 — Opérateur de dérivation fermé : résolvante et spectre

#unbounded-operators#closed-operator#resolvent#spectrum

Soit $X = C([0,1])$ muni de la norme de la convergence uniforme et soit $A$ un opérateur défini sur $X$ par $Af = f'$ dont le domaine est $D(A) = \{f \in C^1([0,1]) : f(1) = 0\}$ .

(2 pts) Montrer que $A$ est fermé.
(1,5 pts) Montrer que $D(A)$ n'est pas dense dans $X$ .
(2 pts) Montrer que $\rho(A) = \mathbb{C}$ .
(1,5 pts) En déduire que pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ avec $\text{Re}\lambda \gt 0$ on a $\|R(\lambda, A)\| \leq \frac{1}{\text{Re}\lambda}$ .

◀الحل

1.

Soit $(f_n)$ dans $D(A)$ telle que $f_n \to f$ et $Af_n \to g$ uniformément. Alors $f \in C^1([0,1])$ et $g = f'$ . De plus $f_n(1) = 0 \to f(1)$ , donc $f(1) = 0$ et $f \in D(A)$ . $A$ est fermé.

2.

Prenons $f(x) = e^x \in X$ . Si $D(A)$ était dense, il existerait $(f_n) \subset D(A)$ avec $f_n \to f$ uniformément, d'où $f_n(1) = 0 \to f(1) = e \neq 0$ . Contradiction.

3.

Pour $\lambda \in \mathbb{C}$ , $(\lambda I - A)f = g$ donne $\lambda f - f' = g$ . Par variation de la constante avec $f(1) = 0$ :

f(s) = \int_s^1 e^{\lambda(s-\tau)} g(\tau) d\tau.

Cet opérateur est borné, donc $\lambda \in \rho(A)$ . Ainsi $\rho(A) = \mathbb{C}$ .

4.

Pour $\text{Re}\lambda \gt 0$ :

|f(s)| \leq \int_s^1 e^{\text{Re}\lambda(s-\tau)} d\tau \|g\|_\infty \leq \frac{1}{\text{Re}\lambda}\|g\|_\infty.

\boxed{\|R(\lambda,A)\| \leq \frac{1}{\text{Re}\lambda}}

التمرين 3

Exercice 3 — Mesure de Dirac : propriétés et intégration

#measure-theory#dirac-measure#integration#step-functions

Soient $a \in \mathbb{R}$ et $\mu_a$ l'application définie sur la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ par $\mu_a(A) = \chi_A(a)$ , $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

(2 pts) Montrer que $\mu_a$ est une mesure positive.
(2 pts) Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f = g$ $\mu_a$ -p.p.
Soit $\theta = \sum_{i=1}^N \alpha_i \chi_{A_i}$ une fonction étagée positive. i. (1,5 pts) Montrer que $\int_X \theta \, d\mu_a = \theta(a)$ . ii. (1,5 pts) En déduire que pour toute fonction mesurable positive $f$ : $\int_X f \, d\mu_a = f(a)$ .

◀الحل

1.

$\mu_a = \delta_a$ (mesure de Dirac). $\delta_a(\emptyset) = 0$ . Pour $(A_n)$ disjoints : si $a \notin \bigcup A_n$ , les deux côtés valent 0. Si $a \in \bigcup A_n$ , il existe un unique $n_0$ tel que $a \in A_{n_0}$ , et $\delta_a(\bigcup A_n) = 1 = \sum \delta_a(A_n)$ .

2.

$f = g$ $\mu_a$ -p.p. $\iff f(a) = g(a)$ .

Nécessité : $f = g$ $\mu_a$ -p.p. implique $\exists A$ avec $\mu_a(A) = 0$ et $f = g$ sur $A^c$ . $\mu_a(A) = 0 \implies a \notin A \implies a \in A^c \implies f(a) = g(a)$ .

Suffisance : prendre $A = \{a\}^c$ , $\mu_a(A) = 0$ et $f = g$ sur $\{a\}$ .

3.i.

$\int \theta \, d\mu_a = \sum \alpha_i \mu_a(A_i) = \sum \alpha_i \chi_{A_i}(a) = \theta(a)$ .

3.ii.

Par approximation par fonctions étagées croissantes $\theta_n \nearrow f$ et convergence monotone :

\int f \, d\mu_a = \lim \int \theta_n \, d\mu_a = \lim \theta_n(a) = f(a).

\boxed{\int_X f \, d\mu_a = f(a)}