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مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

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Concours d'accès à la Formation Doctorale de Mathématiques — Épreuve de Spécialité Analyse Mathématiques (Sujet 2), Université Hassiba Benbouali de Chlef, Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Département de Mathématiques — Samedi 21/01/2023 — Durée 02h — Coefficient 03.

التمرين 1

Exercice 1 — Équation de transport et d'ondes : méthode des caractéristiques

#pde#wave-equation#method-of-characteristics#dalembert-formula
  1. (2 pts) En utilisant la méthode des caractéristiques, résoudre l'EDP
(P1){∂u∂t(t,x)+c∂u∂x(t,x)=v(t,x),(t,x)∈R+∗×R,u(0,x)=φ(x),x∈R,(P1) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) + c\frac{\partial u}{\partial x}(t,x) = v(t,x), & (t,x) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}, \\\\ u(0,x) = \varphi(x), & x \in \mathbb{R}, \end{cases}

où c∈Rc \in \mathbb{R}, vv continue et φ∈C1(R)\varphi \in C^1(\mathbb{R}).

  1. (2 pts) Déduire la solution du problème
(P2){∂v∂t(t,x)−c∂v∂x(t,x)=f(t,x),v(0,x)=ψ(x)+cφ′(x).(P2) \begin{cases} \frac{\partial v}{\partial t}(t,x) - c\frac{\partial v}{\partial x}(t,x) = f(t,x), \\\\ v(0,x) = \psi(x) + c\varphi'(x). \end{cases}
  1. (3 pts) Déduire la solution de l'équation des ondes
{∂2u∂t2−c2∂2u∂x2=f(t,x),u(0,x)=φ(x),ut(0,x)=ψ(x).\begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(t,x), \\\\ u(0,x) = \varphi(x), \quad u_t(0,x) = \psi(x). \end{cases}
◀الحل

1.

Par la méthode des caractéristiques avec t=τt = \tau, x=cτ+sx = c\tau + s :

u(t,x)=φ(x−ct)+∫0tv(α,x+c(α−t))dα.u(t,x) = \varphi(x - ct) + \int_0^t v(\alpha, x + c(\alpha - t))d\alpha.

2.

Par changement c→−cc \to -c :

v(t,x)=ψ(x+ct)+cφ′(x+ct)+∫0tf(α,x−c(α−t))dα.v(t,x) = \psi(x+ct) + c\varphi'(x+ct) + \int_0^t f(\alpha, x - c(\alpha-t))d\alpha.

3.

On factorise (∂t−c∂x)(∂t+c∂x)u=f(\partial_t - c\partial_x)(\partial_t + c\partial_x)u = f. En posant v=(∂t+c∂x)uv = (\partial_t + c\partial_x)u et en combinant (P1) et (P2), on obtient la formule de d'Alembert généralisée :

u(t,x)=12(φ(x−ct)+φ(x+ct))+12c∫x−ctx+ctψ(σ)dσ+12c∫0t∫x−c(t−σ)x+c(t−σ)f(σ,y) dy dσ\boxed{u(t,x) = \frac{1}{2}(\varphi(x-ct) + \varphi(x+ct)) + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\sigma)d\sigma + \frac{1}{2c}\int_0^t \int_{x-c(t-\sigma)}^{x+c(t-\sigma)} f(\sigma, y) \, dy \, d\sigma}

التمرين 2

Exercice 2 — Semi-groupe de translations sur L² : continuité forte vs uniforme

#semigroups#l2-space#translation-operator#strong-continuity

Sur L2(R)L^2(\mathbb{R}), on définit la famille d'opérateurs (T(t))t≥0(T(t))_{t \geq 0} par (T(t)f)(x)=f(x+t)(T(t)f)(x) = f(x+t).

  1. (1,5 pts) Montrer que T(t)∈L(L2)T(t) \in \mathcal{L}(L^2), pour tout t≥0t \geq 0.
  2. (2,5 pts) Montrer que (T(t))t≥0(T(t))_{t \geq 0} est un semi-groupe fortement continu sur L2L^2.
  3. Soit utu_t la fonction caractéristique de [t,2t][t, 2t]. a. (1 pt) Calculer ∥ut∥2\|u_t\|_2 et ∥T(t)ut−ut∥2\|T(t)u_t - u_t\|_2. b. (1 pt) En déduire que l'application R+→L(L2(R))\mathbb{R}_+ \to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R})), t↦T(t)t \mapsto T(t) n'est pas continue en t=0t = 0.
◀الحل

1.

∥T(t)f∥22=∫∣f(x+t)∣2dx=∫∣f(x)∣2dx=∥f∥22\|T(t)f\|_2^2 = \int |f(x+t)|^2 dx = \int |f(x)|^2 dx = \|f\|_2^2. Donc T(t)T(t) est une isométrie, T(t)∈L(L2)T(t) \in \mathcal{L}(L^2).

2.

T(0)=IT(0) = I. T(t+s)=T(t)T(s)T(t+s) = T(t)T(s). Pour la continuité forte : on montre d'abord pour f∈D(R)f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) que ∥T(t)f−f∥2≤t(b−a)1/2∥f′∥∞→0\|T(t)f - f\|_2 \leq t(b-a)^{1/2}\|f'\|_\infty \to 0, puis on étend par densité.

3.a.

∥ut∥2=t\|u_t\|_2 = \sqrt{t}. T(t)ut(x)=ut(x+t)=1[0,t](x)T(t)u_t(x) = u_t(x+t) = \mathbf{1}_{[0,t]}(x), donc T(t)ut−ut=1[0,t]−1[t,2t]T(t)u_t - u_t = \mathbf{1}_{[0,t]} - \mathbf{1}_{[t,2t]} et ∥T(t)ut−ut∥2=2t\|T(t)u_t - u_t\|_2 = \sqrt{2t}.

3.b.

∥T(t)−I∥≥∥T(t)ut−ut∥2∥ut∥2=2tt=2\|T(t) - I\| \geq \frac{\|T(t)u_t - u_t\|_2}{\|u_t\|_2} = \frac{\sqrt{2t}}{\sqrt{t}} = \sqrt{2} pour tout t>0t \gt 0.

Donc lim⁡t→0+∥T(t)−I∥≥2≠0\lim_{t \to 0^+} \|T(t) - I\| \geq \sqrt{2} \neq 0.

t↦T(t) n’est pas continue en norme d’opeˊrateur en t=0\boxed{t \mapsto T(t) \text{ n'est pas continue en norme d'opérateur en } t = 0}

التمرين 3

Exercice 3 — Convergence monotone et dominée pour une suite de fonctions

#measure-theory#monotone-convergence#dominated-convergence#lebesgue-integral

Soit (fn)n(f_n)_n la suite de fonctions définie sur R+\mathbb{R}_+ par

fn(x)=ne−xnx+1,n≥1.f_n(x) = \frac{ne^{-x}}{n\sqrt{x} + 1}, \quad n \geq 1.
  1. (2,5 pts) Montrer que la suite (fn)n(f_n)_n converge simplement λ\lambda-p.p. sur R+\mathbb{R}_+ vers une fonction à déterminer.
  2. Posons, pour tout n≥1n \geq 1, an=∫R+fn(x)dλ(x)a_n = \int_{\mathbb{R}_+} f_n(x) d\lambda(x). Calculer la limite de la suite (an)n(a_n)_n : i. (2 pts) En utilisant le théorème de convergence monotone (Beppo-Levi). ii. (2,5 pts) En utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
◀الحل

1.

fn(x)=e−xx+1/nf_n(x) = \frac{e^{-x}}{\sqrt{x} + 1/n}. Pour x>0x \gt 0 : fn(x)→e−xxf_n(x) \to \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}. Pour x=0x = 0 : fn(0)→+∞f_n(0) \to +\infty. Comme λ({0})=0\lambda(\{0\}) = 0, (fn)(f_n) converge λ\lambda-p.p. vers f(x)=e−xxf(x) = \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}.

2.i. Par Beppo-Levi

(fn)(f_n) est croissante (car 1x+1/(n+1)≥1x+1/n\frac{1}{\sqrt{x}+1/(n+1)} \geq \frac{1}{\sqrt{x}+1/n}), positive et mesurable. Par convergence monotone :

lim⁡an=∫0∞e−xxdx=2∫0∞e−y2dy=π.\lim a_n = \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx = 2\int_0^\infty e^{-y^2} dy = \sqrt{\pi}.

2.ii. Par convergence dominée

∣fn(x)∣≤g(x)=1xχ]0,1[(x)+e−xχ[1,+∞[(x)|f_n(x)| \leq g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\chi_{]0,1[}(x) + e^{-x}\chi_{[1,+\infty[}(x) qui est intégrable (∫g=2+1=3\int g = 2 + 1 = 3). Par le TCD :

lim⁡n→∞an=π\boxed{\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{\pi}}