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مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef — الموضوع 07

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

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Concours d'accès à la Formation Doctorale de Mathématiques — Épreuve de Spécialité Analyse Mathématiques (Sujet 3), Université Hassiba Benbouali de Chlef, Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Département de Mathématiques — Samedi 21/01/2023 — Durée 02h — Coefficient 03.

التمرين 1

Exercice 1 — Équation de la chaleur : transformation de Fourier et noyau de la chaleur

#pde#heat-equation#fourier-transform#convolution#gaussian

Soit k>0k \gt 0. Considérons le problème de Cauchy suivant :

(P){∂u∂t(t,x)−k∂2u∂x2(t,x)=0,t>0,  x∈R,u(0,x)=φ(x),x∈R.(P) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x) = 0, & t \gt 0, \; x \in \mathbb{R}, \\\\ u(0,x) = \varphi(x), & x \in \mathbb{R}. \end{cases}

Supposons que φ\varphi et φ^∈L1(R)\hat{\varphi} \in L^1(\mathbb{R}).

  1. (2 pts) Montrer que F−1(f^g^)=F−1(f^)⋆F−1(g^)\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}\hat{g}) = \mathcal{F}^{-1}(\hat{f}) \star \mathcal{F}^{-1}(\hat{g}), pour tout f^,g^∈L1(R)\hat{f}, \hat{g} \in L^1(\mathbb{R}).
  2. (3 pts) En utilisant la transformation de Fourier, déterminer la formule explicite de la solution du problème (P)(P).
  3. (2 pts) Calculer une solution pour le problème (P)(P) si φ(x)=e−x2\varphi(x) = e^{-x^2}.
◀الحل

1.

F−1(f^g^)(x)=12π∫eixξf^(ξ)g^(ξ)dξ=12π∫eixξf^(ξ)(∫e−iyξg(y)dy)dξ=∫g(y)f(x−y)dy=f⋆g(x)\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}\hat{g})(x) = \frac{1}{2\pi}\int e^{ix\xi}\hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi}\int e^{ix\xi}\hat{f}(\xi)\left(\int e^{-iy\xi}g(y)dy\right)d\xi = \int g(y)f(x-y)dy = f \star g(x).

2.

Après transformation de Fourier en xx : ∂tu^+kξ2u^=0\partial_t \hat{u} + k\xi^2 \hat{u} = 0, d'où u^(t,ξ)=φ^(ξ)e−kξ2t\hat{u}(t,\xi) = \hat{\varphi}(\xi)e^{-k\xi^2 t}. Par la question 1 et calcul de F−1(e−kξ2t)\mathcal{F}^{-1}(e^{-k\xi^2 t}) :

u(t,x)=14πkt∫Re−(x−y)2/(4kt)φ(y) dy\boxed{u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{\mathbb{R}} e^{-(x-y)^2/(4kt)} \varphi(y) \, dy}

3.

Avec φ(x)=e−x2\varphi(x) = e^{-x^2} : on complète le carré dans l'exposant. (x−y)24kt+y2=x21+4kt+1+4kt4kt(y−x1+4kt)2\frac{(x-y)^2}{4kt} + y^2 = \frac{x^2}{1+4kt} + \frac{1+4kt}{4kt}\left(y - \frac{x}{1+4kt}\right)^2.

Après intégration gaussienne :

u(t,x)=2π1+4kte−x2/(1+4kt)\boxed{u(t,x) = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{1+4kt}} e^{-x^2/(1+4kt)}}

التمرين 2

Exercice 2 — Semi-groupe de multiplication sur L¹ : contractions et non-continuité uniforme

#semigroups#l1-space#multiplication-operator#contraction-semigroup

Sur l'espace L1(R)L^1(\mathbb{R}) on définit la famille d'opérateurs (G(t))t≥0(G(t))_{t \geq 0} par

(G(t)u)(x)=u(x)e−tx2,x∈R,  t≥0.(G(t)u)(x) = u(x)e^{-tx^2}, \quad x \in \mathbb{R}, \; t \geq 0.
  1. (1,5 pts) Montrer que pour tout t≥0t \geq 0, G(t)∈L(L1(R))G(t) \in \mathcal{L}(L^1(\mathbb{R})).
  2. (2,5 pts) Montrer que (G(t))t≥0(G(t))_{t \geq 0} est un C0C_0-semi-groupe de contractions sur L1(R)L^1(\mathbb{R}).
  3. (2 pts) Pour t>0t \gt 0, on pose ut(x)=e−tx2u_t(x) = e^{-tx^2}. Montrer que ut∈L1(R)u_t \in L^1(\mathbb{R}) et que ∥G(t)ut−ut∥L1=c∥ut∥L1\|G(t)u_t - u_t\|_{L^1} = c\|u_t\|_{L^1}, où cc est une constante à déterminer.
  4. (1 pt) Déduire que l'application t↦G(t)t \mapsto G(t) n'est pas continue en t=0t = 0.

Indication : ∫Re−x2dx=π\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}.

◀الحل

1.

∥G(t)u∥1=∫∣u(x)e−tx2∣dx≤∫∣u(x)∣dx=∥u∥1\|G(t)u\|_1 = \int |u(x)e^{-tx^2}| dx \leq \int |u(x)| dx = \|u\|_1. Donc G(t)G(t) est borné de norme ≤1\leq 1.

2.

G(0)=IG(0) = I. G(t+s)u(x)=u(x)e−(t+s)x2=G(t)(G(s)u)(x)G(t+s)u(x) = u(x)e^{-(t+s)x^2} = G(t)(G(s)u)(x). Continuité forte : ∥G(t)u−u∥1=∫(1−e−tx2)∣u(x)∣dx→0\|G(t)u - u\|_1 = \int (1-e^{-tx^2})|u(x)|dx \to 0 par convergence dominée.

3.

∥ut∥1=∫e−tx2dx=π/t\|u_t\|_1 = \int e^{-tx^2}dx = \sqrt{\pi/t}.

∥G(t)ut−ut∥1=∫∣e−2tx2−e−tx2∣dx=∫(e−tx2−e−2tx2)dx=π/t−π/(2t)=2−12∥ut∥1\|G(t)u_t - u_t\|_1 = \int |e^{-2tx^2} - e^{-tx^2}|dx = \int (e^{-tx^2} - e^{-2tx^2})dx = \sqrt{\pi/t} - \sqrt{\pi/(2t)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\|u_t\|_1.

c=2−12\boxed{c = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}

4.

∥G(t)−I∥≥∥G(t)ut−ut∥1∥ut∥1=2−12>0\|G(t) - I\| \geq \frac{\|G(t)u_t - u_t\|_1}{\|u_t\|_1} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \gt 0 pour tout t>0t \gt 0. Donc t↦G(t)t \mapsto G(t) n'est pas continue en norme d'opérateur en t=0t = 0.

التمرين 3

Exercice 3 — Mesures diffuses et purement atomiques : décomposition

#measure-theory#diffuse-measure#atomic-measure#decomposition

Soit (X,T,μ)(X, T, \mu) un espace mesuré tel que pour tout x∈Xx \in X : {x}∈T\{x\} \in T.

Définition 1. La mesure μ\mu est dite diffuse si ∀x∈X:μ({x})=0\forall x \in X : \mu(\{x\}) = 0.

Définition 2. La mesure μ\mu est dite purement atomique s'il existe un ensemble mesurable AA tel que μ(Ac)=0\mu(A^c) = 0 et ∀x∈A:μ({x})>0\forall x \in A : \mu(\{x\}) \gt 0.

  1. (1,5 pts) Donner un exemple de mesure diffuse et un exemple de mesure purement atomique.
  2. (2 pts) Montrer qu'une mesure diffuse et purement atomique est nulle.
  3. (2,5 pts) Montrer que pour toute mesure positive μ\mu, il existe une mesure diffuse μd\mu_d et une mesure purement atomique μa\mu_a telles que μ=μd+μa\mu = \mu_d + \mu_a.
◀الحل

1.

Diffuse : la mesure de Lebesgue λ\lambda sur (R,B(R))(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) (λ({x})=0\lambda(\{x\}) = 0 pour tout xx).

Purement atomique : la mesure de Dirac δa\delta_a (A={a}A = \{a\}, δa(Ac)=0\delta_a(A^c) = 0, δa({a})=1>0\delta_a(\{a\}) = 1 \gt 0).

2.

Si μ\mu est diffuse et purement atomique : il existe SS tel que μ(Sc)=0\mu(S^c) = 0 et μ({x})>0\mu(\{x\}) \gt 0 pour tout x∈Sx \in S. Mais μ\mu diffuse implique μ({x})=0\mu(\{x\}) = 0 pour tout xx, donc S=∅S = \emptyset et Sc=XS^c = X. Ainsi μ(X)=0\mu(X) = 0.

3.

Soit A={x∈X:μ({x})>0}A = \{x \in X : \mu(\{x\}) \gt 0\} l'ensemble des atomes. Posons μa(B)=μ(B∩A)\mu_a(B) = \mu(B \cap A) et μd(B)=μ(B∩Ac)\mu_d(B) = \mu(B \cap A^c).

μd\mu_d est diffuse : pour x∈Ax \in A, {x}∩Ac=∅\{x\} \cap A^c = \emptyset; pour x∉Ax \notin A, μ({x})=0\mu(\{x\}) = 0.

μa\mu_a est purement atomique : μa(Ac)=μ(Ac∩A)=0\mu_a(A^c) = \mu(A^c \cap A) = 0 et pour x∈Ax \in A, μa({x})=μ({x})>0\mu_a(\{x\}) = \mu(\{x\}) \gt 0.

μ(B)=μ(B∩A)+μ(B∩Ac)=μa(B)+μd(B)\mu(B) = \mu(B \cap A) + \mu(B \cap A^c) = \mu_a(B) + \mu_d(B).

μ=μa+μd\boxed{\mu = \mu_a + \mu_d}