مسابقة دكتوراه 2025 — Université Hassiba Benbouali

التمرين 1

Exercice 1 — Espace de Hilbert L², fonctions paires et projection

#hilbert-space#orthogonal-complement#projection#l2-space

Considérons l'espace de Hilbert $H = L^2[-1,1]$ muni du produit scalaire usuel

\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(t)g(t) \, dt.

Soit

E = \{x \in H : x(-t) = x(t), \forall t \in [-1,1]\}.

Montrer que $E$ est fermé dans $H$ . Trouver $E^\perp$ .
Calculer la distance de $h$ à $E$ pour $h(t) = e^t$ .

◀الحل

1.

$E$ est l'ensemble des fonctions paires dans $L^2[-1,1]$ . C'est le noyau de l'opérateur $T(f)(t) = f(t) - f(-t)$ , qui est continu, donc $E$ est fermé.

$E^\perp$ est l'ensemble des fonctions impaires : $E^\perp = \{x \in H : x(-t) = -x(t)\}$ .

En effet, toute $f \in L^2$ se décompose en partie paire $f_p(t) = \frac{f(t)+f(-t)}{2}$ et impaire $f_i(t) = \frac{f(t)-f(-t)}{2}$ , et $\langle f_p, f_i \rangle = 0$ .

2.

La projection de $h(t) = e^t$ sur $E$ est sa partie paire $h_p(t) = \cosh(t)$ . La distance est $\|h - h_p\| = \|\sinh(t)\|_{L^2}$ .

d^2 = \int_{-1}^1 \sinh^2(t) dt = \int_{-1}^1 \frac{\cosh(2t)-1}{2} dt = \frac{\sinh(2)}{2} - 1

\boxed{d(h, E) = \sqrt{\frac{\sinh 2}{2} - 1}}

التمرين 2

Exercice 2 — Inégalité de Hardy dans Lp

#lp-spaces#hardy-inequality#integration-by-parts#density

Soit $f \in L^p(\mathbb{R}_+)$ et positive où $1 \lt p \lt \infty$ , on pose :

F(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt, \quad x \gt 0.

Le but est de démontrer l'inégalité suivante (appelée l'inégalité de Hardy) :

\|F\|_p \leq \frac{p}{p-1} \|f\|_p.

Supposons que $f$ soit continue et à support borné ( $f \in C_c^0(\mathbb{R}_+)$ ). a. Calculer $xF'(x) + F(x)$ , pour $x \gt 0$ . b. En utilisant l'intégration par parties, montrer que :

\int_0^\infty F^p(x) \, dx = \frac{p}{p-1} \int_0^\infty F^{p-1}(x) f(x) \, dx.

c. En déduire $\|F\|_p \leq \frac{p}{p-1} \|f\|_p$ . 2. Soit maintenant $f \in L^p(\mathbb{R}_+)$ . En utilisant la densité de $C_c^0(\mathbb{R}_+)$ dans $L^p(\mathbb{R}_+)$ , avec $(f_n) \subset C_c^0$ telle que $f_n \to f$ dans $L^p$ . a. Vérifier que $(F_n)$ est une suite de Cauchy dans $L^p(\mathbb{R}_+)$ . b. En déduire que l'inégalité de Hardy est satisfaite. c. Justifier la continuité de l'opérateur $T : L^p(\mathbb{R}_+) \to L^p(\mathbb{R}_+)$ , $f \mapsto F$ .

◀الحل

1.a.

$F(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$ . $F'(x) = \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt = \frac{f(x) - F(x)}{x}$ .

\boxed{xF'(x) + F(x) = f(x)}

1.b.

IPP sur $\int_0^R F^p dx$ avec $u = F^p$ , $v = x$ : $\int_0^R F^p dx = [xF^p]_0^R - p\int_0^R xF^{p-1}F' dx$ . Le terme de bord s'annule. Utilisant $xF' = f - F$ :

$\int F^p dx = -p\int F^{p-1}(f-F) dx = -p\int F^{p-1}f dx + p\int F^p dx$ .

Donc $(1-p)\int F^p dx = -p\int F^{p-1}f dx$ , soit $\int F^p dx = \frac{p}{p-1}\int F^{p-1}f dx$ .

1.c.

Par Hölder : $\int F^{p-1}f dx \leq \|F^{p-1}\|_q \|f\|_p = \|F\|_p^{p-1} \|f\|_p$ avec $q = p/(p-1)$ . Donc $\|F\|_p^p \leq \frac{p}{p-1} \|F\|_p^{p-1} \|f\|_p$ .

\boxed{\|F\|_p \leq \frac{p}{p-1}\|f\|_p}

2.

$\|F_n - F_m\|_p \leq \frac{p}{p-1}\|f_n - f_m\|_p \to 0$ . Donc $(F_n)$ est Cauchy dans $L^p$ . Sa limite vérifie l'inégalité par passage à la limite. $T$ est linéaire et bornée donc continue.