مسابقة دكتوراه 2022 — Université Kasdi Merbah

التمرين 1

Exercice 1 — Convergence simple et uniforme de $\sum x/(n^2+x^2)$

#séries de fonctions#convergence uniforme#analyse

Pour tout réel $x \geq 0$ , on pose $u_n(x) = \dfrac{x}{n^2+x^2}$ .

Montrer que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$ .
Montrer que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ converge uniformément sur tout intervalle $[0,a]$ , avec $a>0$ .
Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{n}{n^2+k^2} \geq \dfrac{1}{5}$ .
En déduire que la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}_+$ .

Astuce clé : pour détecter la non-uniformité sur $\mathbb{R}_+$ , choisir $x_n=n$ (dépendant de $n$ ) et minorer le reste par une constante $>0$ . C'est l'astuce standard pour ce type de série où le maximum de $u_n$ se déplace vers l'infini avec $n$ .

◀الحل

Pour $x$ fixé, $u_n(x) = x/(n^2+x^2) \sim x/n^2$ ; comme $\sum 1/n^2 < +\infty$ , la série converge (absolument). Pour $x=0$ , tous les termes sont nuls. Donc convergence simple sur $\mathbb{R}_+$ .
Sur $[0,a]$ : $|u_n(x)| = x/(n^2+x^2) \le a/n^2$ . Comme $\sum a/n^2$ est convergente, il y a convergence normale, donc uniforme sur $[0,a]$ .
Pour $k\in\{n+1,\dots,2n\}$ , on a $k\le 2n$ donc $k^2\le 4n^2$ et $n^2+k^2\le 5n^2$ . Ainsi $\dfrac{n}{n^2+k^2}\ge \dfrac{n}{5n^2}=\dfrac{1}{5n}$ . La somme comporte $n$ termes, donc $\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{n}{n^2+k^2} \ge n\cdot\dfrac{1}{5n}=\dfrac{1}{5}$ .
Notons $R_N(x)=\sum_{k>N} u_k(x)$ . Pour $x=n$ : $R_n(n) \ge \sum_{k=n+1}^{2n} u_k(n) = \sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{n}{n^2+k^2}\ge \dfrac{1}{5}$ . Donc $\sup_{x\ge0} R_n(x) \ge 1/5$ ne tend pas vers 0 : pas de convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ avec $M^3=-M$

#endomorphismes#décomposition en noyaux#matrices#algèbre linéaire

Soit $M$ une matrice carrée d'ordre 3 non nulle et à coefficients réels.

Montrer que $M$ ne peut pas satisfaire la relation $M^2 = -I$ ( $I$ étant la matrice unité).

Dans tout ce qui suit on suppose que $M^3 = -M$ . Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ (application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ ) dont la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ est $M$ .

Justifier que $f \circ (f^2+\mathrm{id}) = (f^2+\mathrm{id}) \circ f = 0$ , où $\mathrm{id}$ est l'endomorphisme identique de $\mathbb{R}^3$ . En déduire que $\ker(f \circ (f^2+\mathrm{id})) = \mathbb{R}^3$ .
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^3$ on a : $f^2(x) \in \ker(f^2+\mathrm{id})$ .
En utilisant le fait que $-f\circ f + (f^2+\mathrm{id}) = \mathrm{id}$ , montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}^3$ , il existe $x'\in\ker f$ et $x''\in\ker(f^2+\mathrm{id})$ tels que $x = x'+x''$ .
Déduire de ce qui précède que $\ker(f) \oplus \ker(f^2+\mathrm{id}) = \mathbb{R}^3$ .
On admet que $v_1\in\ker(f)$ , $v_2\in\ker(f^2+\mathrm{id})$ et $v_3 = f(v_2)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$ . Calculer $M'$ la matrice de $f$ relativement à cette base.

Cet exercice est une application du lemme des noyaux : le polynôme annulateur $X(X^2+1)$ se factorise en polynômes premiers entre eux dans $\mathbb{R}[X]$ , d'où la décomposition en somme directe des noyaux. Le bloc $\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ obtenu est celui d'une rotation d'angle $\pi/2$ .

◀الحل

Si $M^2=-I$ , alors $\det(M)^2 = \det(-I) = (-1)^3 = -1$ dans $\mathbb{R}$ , impossible car $\det(M)^2 \ge 0$ . Donc aucune matrice réelle $3\times 3$ ne vérifie $M^2=-I$ .
$f\circ(f^2+\mathrm{id}) = f^3+f = -f+f = 0$ (car $f^3=-f$ ). Symétriquement $(f^2+\mathrm{id})\circ f = 0$ . La composition est l'application nulle, donc son noyau est $\mathbb{R}^3$ .
$(f^2+\mathrm{id})(f^2(x)) = f^4(x)+f^2(x) = f(f^3(x))+f^2(x) = f(-f(x))+f^2(x) = -f^2(x)+f^2(x) = 0$ . Donc $f^2(x)\in\ker(f^2+\mathrm{id})$ .
Pour tout $x$ : $x = \mathrm{id}(x) = -f^2(x) + (f^2+\mathrm{id})(x)$ . Posons $x'' = -f^2(x)$ : d'après 3, $x''\in\ker(f^2+\mathrm{id})$ . Posons $x' = (f^2+\mathrm{id})(x)$ : alors $f(x') = f\circ(f^2+\mathrm{id})(x) = 0$ , donc $x'\in\ker f$ .
Somme : la partie 4 donne $\ker f + \ker(f^2+\mathrm{id}) = \mathbb{R}^3$ . Intersection : si $x\in\ker f\cap\ker(f^2+\mathrm{id})$ , alors $f(x)=0$ et $f^2(x)+x=0$ , donc $x=-f^2(x)=0$ . La somme est directe : $\ker f \oplus \ker(f^2+\mathrm{id}) = \mathbb{R}^3$ .
Dans la base $(v_1,v_2,v_3)$ : $f(v_1)=0$ ; $f(v_2)=v_3$ ; $f(v_3)=f^2(v_2)=-v_2$ (car $(f^2+\mathrm{id})(v_2)=0$ ). Donc $M' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$