مسابقة دكتوراه 2023 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 01

Q1 — Réponse (d)

$u(x)=|x|$ est lipschitzienne sur $]-1,1[$, de dérivée faible $u'(x)=\operatorname{sgn}(x)$ qui vérifie $|u'|\le1$. Ainsi $u\in L^\infty$ et $u'\in L^\infty\subset L^p$ pour tout $p$ sur l'intervalle borné $]-1,1[$. Donc $u\in W^{1,p}(]-1,1[)$ pour tout $p\in[1,\infty]$ : réponse (d).

Q2 — Réponse (d)

Écrivons $r=|x|$ et $u_\alpha=|\ln r|^\alpha=(-\ln r)^\alpha$ près de $0$ (où $\ln r<0$). Quand $r\to0^+$, $-\ln r\to+\infty$, donc :

• si $\alpha>0$, $u_\alpha(x)\to+\infty$ : $u_\alpha\notin L^\infty(B)$ ;
• si $\alpha\le0$, $u_\alpha$ est bornée au voisinage de $0$ (et continue ailleurs), donc $u_\alpha\in L^\infty(B)$.

La contrainte d'appartenance à $W^{1,\infty}(B)$ est donc gouvernée par la bornitude, qui impose $\alpha\le0$, et ce indépendamment de la dimension $n$. D'où $A_n=]-\infty,0]$ pour tout $n$ : réponse (d).

Q3 — Réponse (c)

Par régularité elliptique, $-\Delta u=f$ avec $f\in H^m(B)$ (et $\partial B$ régulier) donne $u\in H^{m+2}(B)$. L'injection de Sobolev $H^{s}(B)\hookrightarrow C^2(\overline B)$ dans $\mathbb{R}^n$ ($n=4$) est valable dès que $s>2+\frac n2=2+2=4,$ donc pour $s\ge5$ (plus petit entier $>4$). Avec $s=m+2$, il faut $m+2\ge5$, soit $\boxed{m_{\min}=3.}$ Réponse (c). (Le cas limite $s=4$ ne suffit pas : $H^{4}$ ne s'injecte pas dans $C^2$ en dimension $4$.)

1. Relèvement

On cherche une fonction affine $g(x)=\alpha x+\beta$ ayant la trace de $\phi$ : $g(0)=\beta=0$ et $g(L)=\alpha L=-2$, soit $\alpha=-\tfrac2L$. Donc $g(x)=-\frac{2x}{L},\qquad \tilde\phi:=\phi-g\in H_0^1(0,L).$ On pose désormais $\phi=\tilde\phi+g$, avec $g'=-\tfrac2L$.

2. Formulation variationnelle mixte

Équation 1. On multiplie par $v\in H^1(0,L)$ et on intègre ; l'intégration par parties de $-cu''-e\phi''$ fait apparaître le terme de bord $-\big[(cu'+e\phi')v\big]_0^L=0$ (conditions naturelles). Il reste, avec $\phi=\tilde\phi+g$ : $\underbrace{c\!\int_0^L\! u'v'-\rho\omega^2\!\int_0^L\! uv}_{a(u,v)}+\underbrace{e\!\int_0^L\!\tilde\phi'v'}_{b(v,\tilde\phi)}=\underbrace{-e\!\int_0^L\! g'v'}_{F(v)}.$ Comme $g'=-\tfrac2L$, $F(v)=\tfrac{2e}{L}\int_0^Lv'=\tfrac{2e}{L}\big(v(L)-v(0)\big)$.

Équation 2. On multiplie par $\psi\in H_0^1(0,L)$ ; les termes de bord s'annulent ($\psi\in H_0^1$) et $\int_0^Lg'\psi'=-\tfrac2L(\psi(L)-\psi(0))=0$. Il reste $\underbrace{e\!\int_0^L\! u'\psi'}_{b(u,\psi)}-\underbrace{\varepsilon\!\int_0^L\!\tilde\phi'\psi'}_{d(\tilde\phi,\psi)}=0.$ Donc $\boxed{a(u,v)=c\!\int u'v'-\rho\omega^2\!\int uv,\quad b(v,\chi)=e\!\int\chi'v',\quad d(\chi,\psi)=\varepsilon\!\int\chi'\psi',\quad F(v)=\tfrac{2e}{L}(v(L)-v(0)).}$

3. Solutions non triviales (résonances)

(i) Avec $F=0$, l'existence de solutions non triviales signifie que $\omega^2$ est une valeur propre du problème : ce sont les pulsations propres (fréquences de résonance) où l'opérateur n'est pas injectif.

(ii) La deuxième équation donne (au sens faible) $\varepsilon\tilde\phi''=eu''$, soit $\tilde\phi=\tfrac e\varepsilon u+\text{affine}$ ; en reportant $\phi''=\tfrac e\varepsilon u''$ dans la première équation : $-\rho\omega^2u-\Big(c+\frac{e^2}\varepsilon\Big)u''=0\iff \bar c\,u''+\rho\omega^2u=0,\quad \bar c=c+\frac{e^2}\varepsilon.$ Avec les conditions de type Neumann $u'(0)=u'(L)=0$, les solutions non nulles sont $u_n(x)=\cos\!\Big(\frac{2\pi n}{L}x\Big),\qquad \frac{\rho\omega^2}{\bar c}=\Big(\frac{2\pi n}{L}\Big)^2,$ c'est-à-dire exactement $\omega=\dfrac{2\pi}{L}\sqrt{\dfrac{\bar c}{\rho}}\,n$, avec $\tilde\phi_n=\tfrac e\varepsilon(u_n-\overline{u_n})$ ajusté pour être dans $H_0^1$. Ce sont les modes propres cherchés.

4. Cas $\omega=\sqrt2\,i$ : caractère bien posé

Alors $\omega^2=-2$ et $a(u,v)=c\int u'v'+2\rho\int uv$. Cette forme est coercive sur $H^1(0,L)$ : $a(u,u)=c\|u'\|_{L^2}^2+2\rho\|u\|_{L^2}^2\ge\min(c,2\rho)\,\|u\|_{H^1}^2.$ De plus $d$ est coercive sur $H_0^1$ : $d(\psi,\psi)=\varepsilon\|\psi'\|_{L^2}^2\ge C\|\psi\|_{H_0^1}^2$ (Poincaré), et $b$ est continue. On élimine $\tilde\phi$ grâce à $d$ (inversible) : $\tilde\phi=D^{-1}Bu$, et le problème réduit sur $u$, de forme $a(u,v)+ b(v,D^{-1}Bu)$ avec $a$ coercive et le terme additionnel positif ($e^2\int|\Pi u'|^2/\varepsilon\ge0$), est coercif continu. Par Lax-Milgram (ou le théorème de Brezzi pour la structure de point-selle avec $a$ coercive et $d$ coercive), le problème admet une unique solution dépendant continment des données : il est bien posé.

5. Problème discret et estimation d'erreur

Comme $V_h\subset H^1$ et $M_h\subset H_0^1$ sont de dimension finie et que la coercivité de $a$ et $d$ est héritée sur les sous-espaces (elle est valable sur tout $H^1$, resp. $H_0^1$), le problème discret $(3)$ vérifie les mêmes hypothèses de Brezzi/Lax-Milgram : il est bien posé (existence, unicité, stabilité). Par le lemme de Céa (version mixte coercive), on a l'estimation quasi-optimale $\big\|(u,\tilde\phi)-(u_h,\tilde\phi_h)\big\|_{H^1\times H_0^1}\le C\inf_{(v_h,\psi_h)\in V_h\times M_h}\big\|(u,\tilde\phi)-(v_h,\psi_h)\big\|_{H^1\times H_0^1},$ où $C$ ne dépend que des constantes de continuité et de coercivité. Avec des éléments finis $P_k$ sur un maillage de pas $h$ et une solution $(u,\tilde\phi)\in H^{k+1}\times H^{k+1}$, l'estimation d'interpolation donne $\big\|(u,\tilde\phi)-(u_h,\tilde\phi_h)\big\|_{H^1\times H_0^1}\le C\,h^{k}\big(\|u\|_{H^{k+1}}+\|\tilde\phi\|_{H^{k+1}}\big).$