مسابقة دكتوراه 2025 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 01

1. Définition et continuité sur $[0,+\infty[$

Pour tout $x\ge 0$ et $n\ge 1$ :

$$\left|\frac{e^{-nx}}{n^2}\right|\le\frac{1}{n^2},\qquad \sum\frac{1}{n^2}<+\infty.$$

La série converge normalement sur $[0,+\infty[$ ; chaque terme étant continu, $f$ est définie et continue sur $[0,+\infty[$. De plus $f(0)=\sum 1/n^2=\dfrac{\pi^2}{6}$.

---

2. Classe $C^1$ puis $C^2$ sur $[a,+\infty[$, $a>0$

Posons $f_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{n^2}$, $f_n'(x)=-\dfrac{e^{-nx}}{n}$, $f_n''(x)=e^{-nx}$.

Sur $[a,+\infty[$ :

$$\sup_{x\ge a}|f_n'(x)|=\frac{e^{-na}}{n}\le e^{-na},\qquad \sup_{x\ge a}|f_n''(x)|=e^{-na},$$

et $\sum e^{-na}$ converge (série géométrique de raison $e^{-a}<1$). Les séries dérivées convergent normalement sur $[a,+\infty[$ : par le théorème de dérivation terme à terme, $f$ est $C^1$ puis $C^2$ sur $[a,+\infty[$.

Comme $a>0$ est arbitraire, $f\in C^2(\mathbb{R}_+^*)$, avec pour $x>0$ :

$$f''(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\boxed{\frac{1}{e^x-1}},$$ $$f'(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{n}=\boxed{\ln\big(1-e^{-x}\big)},$$

en utilisant $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{q^n}{n}=-\ln(1-q)$ avec $q=e^{-x}\in\,]0,1[$.

---

3. Dérivabilité en $0$

$f''>0$ sur $]0,+\infty[$, donc $f'$ est croissante. Par le théorème des accroissements finis, pour $x>0$ il existe $c_x\in\,]0,x[$ tel que

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(c_x)\le f'(x)=\ln\big(1-e^{-x}\big)\xrightarrow[x\to 0^+]{}-\infty.$$

Donc le taux d'accroissement tend vers $-\infty$ :

$$\boxed{f\ \text{n'est pas dérivable en } 0\ \text{(demi-tangente verticale).}}$$

---

4. Représentation intégrale

Pour $0<\varepsilon<x$, $f$ est $C^1$ sur $[\varepsilon,x]$, donc

$$f(x)-f(\varepsilon)=\int_\varepsilon^x \ln\big(1-e^{-t}\big)\,dt.$$

Quand $t\to 0^+$, $1-e^{-t}\sim t$, donc $\ln(1-e^{-t})\sim\ln t$, qui est intégrable en $0$ : l'intégrale impropre $\displaystyle\int_0^x\ln(1-e^{-t})\,dt$ converge. En faisant $\varepsilon\to 0^+$ et en utilisant la continuité de $f$ en $0$ (question 1) :

$$\boxed{f(x)=f(0)+\int_0^x \ln\big(1-e^{-t}\big)\,dt,\qquad x>0.}$$

1. $(E,d)$ est séparé

Soient $x\neq y$ et $r=\dfrac{d(x,y)}{2}>0$. Si $z\in B_d(x,r)\cap B_d(y,r)$, alors

$$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)<r+r=d(x,y),$$

absurde. Donc $B_d(x,r)\cap B_d(y,r)=\varnothing$ : deux points distincts sont séparés par des ouverts disjoints.

---

2. $\rho$ est une distance

Posons $h(t)=\dfrac{t}{3+2t}$ pour $t\ge 0$, de sorte que $\rho=h\circ d$.

• Positivité et séparation : $\rho\ge 0$ et $\rho(x,y)=0\iff d(x,y)=0\iff x=y$.
• Symétrie : héritée de celle de $d$.
• Inégalité triangulaire : $h$ est croissante ($h'(t)=\dfrac{3}{(3+2t)^2}>0$) et sous-additive :

$$h(s+t)=\frac{s}{3+2s+2t}+\frac{t}{3+2s+2t}\le\frac{s}{3+2s}+\frac{t}{3+2t}=h(s)+h(t).$$

Alors, avec $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ :

$$\rho(x,z)=h\big(d(x,z)\big)\le h\big(d(x,y)+d(y,z)\big)\le \rho(x,y)+\rho(y,z).$$

Donc $\rho$ est une distance sur $E$.

---

3. Boule $B_\rho(a,1)$

Pour tous $x,y$ :

$$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{3+2d(x,y)}<\frac{d(x,y)}{2d(x,y)}=\frac12<1.$$

Donc tout point de $E$ vérifie $\rho(x,a)<1$ :

$$\boxed{B_\rho(a,1)=E.}$$

---

4. Inclusion des boules

Comme $3+2d\ge 3>1$, on a toujours $\rho(x,a)\le d(x,a)$. Donc

$$d(x,a)<r\ \Longrightarrow\ \rho(x,a)\le d(x,a)<r,$$

c'est-à-dire $\boxed{B_d(a,r)\subset B_\rho(a,r).}$

---

5. $T_d$ plus fine que $T_\rho$

Soit $U\in T_\rho$ et $a\in U$ : il existe $r>0$ tel que $B_\rho(a,r)\subset U$. D'après 4,

$$B_d(a,r)\subset B_\rho(a,r)\subset U,$$

donc $U$ est ouvert pour $d$. Ainsi $T_\rho\subset T_d$ :

$$\boxed{T_d\ \text{est plus fine que}\ T_\rho.}$$