مسابقة دكتوراه 2025 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 02

1. Définition et continuité sur $[0, +\infty[$

Pour tout $x \geq 0$ et tout $n \geq 1$ :

$\left|\frac{e^{-nx}}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2},$

et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. La série converge donc normalement sur $[0, +\infty[$. Chaque terme étant continu, $f$ est continue sur $[0, +\infty[$, avec $f(0) = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

2. Classe $C^2$ sur $]0, +\infty[$ et calcul de $f''$

Soit $a > 0$. Sur $[a, +\infty[$ :

$\left|\frac{d}{dx}\frac{e^{-nx}}{n^2}\right| = \frac{e^{-nx}}{n} \leq \frac{e^{-na}}{n}, \qquad \left|\frac{d^2}{dx^2}\frac{e^{-nx}}{n^2}\right| = e^{-nx} \leq e^{-na},$

et les séries géométriques $\sum \frac{e^{-na}}{n}$, $\sum e^{-na}$ convergent. Les séries dérivées convergent normalement sur tout $[a, +\infty[$, donc $f \in C^2(]0,+\infty[)$ et l'on peut dériver terme à terme :

$f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nx} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \boxed{\frac{1}{e^x - 1}}.$

3. Expression de $f'$

Pour $x > 0$ :

$f'(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n} = \boxed{\ln\left(1 - e^{-x}\right)},$

en reconnaissant le développement $-\ln(1-u) = \sum_{n\geq 1} \frac{u^n}{n}$ avec $u = e^{-x} \in \, ]0,1[$.

4. Dérivabilité en $0$

Lorsque $x \to 0^+$ :

$f'(x) = \ln(1 - e^{-x}) \sim \ln x \longrightarrow -\infty.$

Par le théorème de la limite de la dérivée (f étant continue en $0$), le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ tend vers $-\infty$ :

$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } 0 \text{ (tangente verticale).}}$

5. Représentation intégrale

La fonction $t \mapsto \ln(1 - e^{-t})$ est intégrable sur $]0, x]$ car $\ln(1-e^{-t}) \sim \ln t$ en $0^+$, qui est intégrable. Pour $0 < \varepsilon < x$ :

$f(x) - f(\varepsilon) = \int_\varepsilon^x f'(t)\, dt = \int_\varepsilon^x \ln(1 - e^{-t})\, dt.$

En faisant $\varepsilon \to 0^+$, la continuité de $f$ en $0$ et l'intégrabilité donnent :

$\boxed{f(x) = f(0) + \int_0^x \ln(1 - e^{-t})\, dt, \qquad f(0) = \frac{\pi^2}{6}.}$

1. Propriétés de $h$

Croissance : $h$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ avec

$h'(t) = \frac{3 + 2t - 2t}{(3+2t)^2} = \frac{3}{(3+2t)^2} > 0,$

donc $h$ est strictement croissante.

Sous-additivité : pour $s, t \geq 0$ :

$h(s+t) = \frac{s+t}{3+2(s+t)} = \frac{s}{3+2s+2t} + \frac{t}{3+2s+2t} \leq \frac{s}{3+2s} + \frac{t}{3+2t} = h(s) + h(t).$

2. $\rho$ est une distance

• Séparation : $\rho(x,y) = 0 \iff d(x,y) = 0 \iff x = y$ (car $h(t)=0 \iff t=0$).
• Symétrie : évidente car $d$ est symétrique.
• Inégalité triangulaire : $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$, donc par croissance puis sous-additivité de $h$ :

$\rho(x,z) = h(d(x,z)) \leq h(d(x,y) + d(y,z)) \leq h(d(x,y)) + h(d(y,z)) = \rho(x,y) + \rho(y,z).$

$\boxed{\rho \text{ est une distance sur } E.}$

3. La boule $B_\rho(a, 1)$

Pour tout $t \geq 0$ : $h(t) = \dfrac{t}{3+2t} < \dfrac{1}{2} < 1$. Donc $\rho(a, x) < 1$ pour tout $x \in E$ :

$\boxed{B_\rho(a, 1) = E.}$

4. Comparaison $\rho \leq d$ et inclusion des boules

Pour $t \geq 0$, $3 + 2t \geq 1$, donc $h(t) = \dfrac{t}{3+2t} \leq t$, c'est-à-dire $\rho(x,y) \leq d(x,y)$.

Si $x \in B_d(a, r)$ alors $\rho(a,x) \leq d(a,x) < r$, donc $x \in B_\rho(a, r)$ :

$\boxed{B_d(a,r) \subset B_\rho(a,r).}$

5. Comparaison des topologies

D'après 4., tout ouvert pour $\rho$ est ouvert pour $d$ : $\mathcal{T}_\rho \subset \mathcal{T}_d$, la topologie de $d$ est plus fine que celle de $\rho$.

Réciproquement, soit $B_d(a, r)$ une boule pour $d$ avec $r > 0$. Comme $h$ est un homéomorphisme croissant de $[0, +\infty[$ sur $[0, \frac{1}{2}[$, on a $d(a,x) < r \iff \rho(a,x) < h(r)$, donc $B_\rho(a, h(r)) = B_d(a, r)$. Tout ouvert pour $d$ est donc ouvert pour $\rho$.

$\boxed{\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_\rho : \text{les deux distances sont topologiquement équivalentes.}}$

Notons cependant qu'elles ne sont pas Lipschitz-équivalentes en général puisque $\rho$ est bornée par $\frac{1}{2}$ alors que $d$ peut être non bornée.