مسابقة دكتوراه 2025 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 03

1. Définition et continuité sur $[0,+\infty[$

Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$ : $\left|\dfrac{e^{-nx}}{n^2}\right| \leq \dfrac{1}{n^2}$, terme général d'une série de Riemann convergente. Par le critère de Weierstrass, la série converge normalement, donc uniformément, sur $[0,+\infty[$. Chaque terme étant continu, $f$ est continue sur $[0,+\infty[$. En particulier $f(0)=\sum \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

2. Classe $C^2$ sur $]0,+\infty[$

Fixons $a\gt 0$ et posons $u_n(x)=\frac{e^{-nx}}{n^2}$. Alors $u_n'(x)=-\frac{e^{-nx}}{n}$ et $u_n''(x)=e^{-nx}$. Sur $[a,+\infty[$ :

$|u_n'(x)| \leq \frac{e^{-na}}{n} \leq e^{-na},\qquad |u_n''(x)| \leq e^{-na},$

et $\sum e^{-na}$ converge (série géométrique de raison $e^{-a}\lt 1$). Les séries $\sum u_n'$ et $\sum u_n''$ convergent donc normalement sur $[a,+\infty[$. Par le théorème de dérivation terme à terme, $f$ est $C^2$ sur $[a,+\infty[$ ; tout $x\gt 0$ appartenant à un tel intervalle ($a=x/2$), $f$ est $C^2$ sur $]0,+\infty[$ avec

$f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nx} = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x-1},$

$f'(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n} = \ln(1-e^{-x})$

(car $\sum_{n\geq 1} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$ avec $t=e^{-x}$).

Vérification : $\dfrac{d}{dx}\ln(1-e^{-x}) = \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \dfrac{1}{e^x-1} = f''(x)$. ✓

$\boxed{f'(x) = \ln(1-e^{-x}),\qquad f''(x) = \frac{1}{e^x-1}\quad (x\gt 0).}$

3. Dérivabilité en $0$

Quand $x\to 0^+$, $f'(x)=\ln(1-e^{-x}) \to \ln(0^+) = -\infty$. La dérivée à droite serait infinie : la fonction présente une tangente verticale en $0$.

$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } 0.}$

4. Formule intégrale

$f$ est continue sur $[0,x]$ et $C^1$ sur $]0,x]$ avec $f'(t)=\ln(1-e^{-t})$. Au voisinage de $0$, $\ln(1-e^{-t}) \sim \ln t$, intégrable, donc $\int_0^x f'(t)\,dt$ converge et vaut $f(x)-f(0)$. Ainsi

$\boxed{f(x) = f(0) + \int_0^x \ln(1-e^{-t})\,dt,\qquad x\gt 0.}$

1. $(E,d)$ est séparé

Soient $x \neq y$ et $r = d(x,y) \gt 0$. Les boules $B_d(x, r/2)$ et $B_d(y, r/2)$ sont disjointes : si $z$ appartenait aux deux, $r = d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \lt r/2+r/2 = r$, absurde. L'espace est donc séparé (Hausdorff).

2. $\rho$ est une distance

Posons $\varphi(t) = \dfrac{t}{3+2t}$ pour $t\geq 0$, de sorte que $\rho = \varphi \circ d$.

• Positivité / séparation : $\rho(x,y)\geq 0$, et $\rho(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$.
• Symétrie : héritée de $d$.
• Inégalité triangulaire : $\varphi'(t) = \dfrac{3}{(3+2t)^2} \gt 0$ (croissante) et $\varphi''(t) = \dfrac{-12}{(3+2t)^3} \lt 0$ (concave). Une fonction concave avec $\varphi(0)=0$ est sous-additive : $\varphi(u+v) \leq \varphi(u)+\varphi(v)$. Comme $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$ et $\varphi$ croissante,

$\rho(x,z) = \varphi(d(x,z)) \leq \varphi(d(x,y)+d(y,z)) \leq \varphi(d(x,y))+\varphi(d(y,z)) = \rho(x,y)+\rho(y,z).$

$\boxed{\rho \text{ est une distance sur } E.}$

3. Boule $B_\rho(a,1)$

Pour tout $x$, $\rho(a,x) = \dfrac{d(a,x)}{3+2\,d(a,x)} \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$ (car $\varphi(t) \to \tfrac12$ en croissant). La condition $\rho(a,x)\lt 1$ est donc toujours satisfaite :

$\boxed{B_\rho(a,1) = E.}$

4. Inclusion des boules

Pour tout $t\geq 0$, $\varphi(t) = \dfrac{t}{3+2t} \leq t$ (car $3+2t \geq 1$). Donc $\rho(a,x) \leq d(a,x)$. Si $x \in B_d(a,r)$, alors $d(a,x)\lt r$, d'où $\rho(a,x) \leq d(a,x) \lt r$, c'est-à-dire $x \in B_\rho(a,r)$.

$\boxed{B_d(a,r) \subset B_\rho(a,r).}$

5. Comparaison des topologies

Soit $U \in T_\rho$ et $a \in U$. Il existe $r\gt 0$ tel que $B_\rho(a,r) \subset U$. Par la question 4, $B_d(a,r) \subset B_\rho(a,r) \subset U$, donc $a$ est intérieur à $U$ pour $d$. Ainsi $U \in T_d$, d'où $T_\rho \subset T_d$ :

$\boxed{T_d \text{ est plus fine que } T_\rho.}$