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مسابقة دكتوراه 2017 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Espaces métriques, 2017-2018

التمرين 1

Distance bornée topologiquement équivalente

#espace métrique#topologie

Soit (E,d)(E,d) un espace métrique. Montrer que

d1(x,y)=d(x,y)1+d(x,y)d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

est une distance sur EE topologiquement équivalente à dd.

◀الحل

La fonction ϕ(t)=t/(1+t)\phi(t)=t/(1+t) est croissante, nulle seulement en zéro et sous-additive. Ainsi d1=ϕ∘dd_1=\phi\circ d vérifie les axiomes d'une distance.

Pour 0<ε<10<\varepsilon<1,

\iff d(x,y)<\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.$$ Réciproquement, $d_1(x,y)\le d(x,y)$. Les deux distances engendrent donc la même topologie.

التمرين 2

Contraction homographique et points fixes

#point fixe de Banach#contraction#itération

Soit

E=[2/3,+∞)E=[2/3,+\infty)

et

f(x)=2x+63x+2.f(x)=\frac{2x+6}{3x+2}.

  1. Montrer que EE est complet et f(E)⊂Ef(E)\subset E.

  2. Montrer que ff est contractante et calculer son unique point fixe.

  3. Calculer quelques itérés à partir de x0=2/3x_0=2/3 et estimer l'erreur.

  4. Étudier le prolongement à R∖{−2/3}\mathbb R\setminus\{-2/3\}.

◀الحل

L'ensemble EE est fermé dans R\mathbb R, donc complet. De plus,

f′(x)=−14(3x+2)2,f'(x)=\frac{-14}{(3x+2)^2},

et, pour x≥2/3x\ge2/3,

∣f′(x)∣≤78<1.|f'(x)|\le\frac{7}{8}<1.

Ainsi ff est une contraction. Les points fixes vérifient

\iff 3x^2=6,$$ soit $x=\pm\sqrt2$. L'unique point fixe dans $E$ est $$a=\sqrt2.$$ L'erreur satisfait $$|x_n-a|\le\frac{q^n}{1-q}|x_1-x_0|, \qquad q=\frac78.$$ Sur le domaine prolongé, $|f'|$ n'est pas uniformément inférieur à un, et les deux points fixes sont $\pm\sqrt2$.

التمرين 3

Sous-suite contrôlée d'une suite de Cauchy

#suite de Cauchy#sous-suite#convergence

Soit (X,d)(X,d) un espace métrique et (xn)(x_n) une suite de Cauchy.

  1. Pour toute suite (εn)(\varepsilon_n) de réels strictement positifs, montrer qu'il existe une sous-suite (xφ(n))(x_{\varphi(n)}) telle que

d(xφ(n),xφ(n+1))≤εn.d(x_{\varphi(n)},x_{\varphi(n+1)})\le\varepsilon_n.

  1. Montrer que si (xn)(x_n) admet une sous-suite convergente, alors (xn)(x_n) converge.
◀الحل

Pour chaque nn, choisir NnN_n tel que

p,q≥Nn  ⟹  d(xp,xq)<εn.p,q\ge N_n\implies d(x_p,x_q)<\varepsilon_n.

On construit récursivement φ(n+1)>max⁡(φ(n),Nn)\varphi(n+1)>\max(\varphi(n),N_n).

Si xφ(k)→ℓx_{\varphi(k)}\to\ell, alors, pour nn grand et kk tel que φ(k)\varphi(k) soit grand,

d(xn,ℓ)≤d(xn,xφ(k))+d(xφ(k),ℓ),d(x_n,\ell)\le d(x_n,x_{\varphi(k)})+d(x_{\varphi(k)},\ell),

et les deux termes sont arbitrairement petits. Donc xn→ℓx_n\to\ell.