مسابقة دكتوراه 2023 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 01

Problème de Sturm-Liouville associé

On cherche $u(x,t)=X(x)T(t)$. On obtient $X''+\lambda X=0$ avec $X(0)=0$ et $X'(1)=0$. Les solutions non triviales sont $X(x)=\sin(\sqrt\lambda\,x)$ avec $X'(1)=\sqrt\lambda\cos\sqrt\lambda=0$, soit $\cos\sqrt\lambda=0$ : $\sqrt{\lambda_n}=\omega_n=\frac{(2n-1)\pi}2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{(2n-1)\pi x}2,\quad n\ge1.$

Solution générale

Pour chaque mode, $T_n''+\omega_n^2T_n=0$, donc $u(x,t)=\sum_{n\ge1}\big(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\big)\sin\frac{(2n-1)\pi x}2.$

Conditions initiales

$u(x,0)=0\Rightarrow A_n=0$ pour tout $n$. Puis $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\sum_{n\ge1}B_n\omega_n\sin\frac{(2n-1)\pi x}2=\sin\frac{\pi x}2+\sin\frac{3\pi x}2.$ Le second membre est exactement $X_1+X_2$ (modes $n=1$ et $n=2$), d'où $B_1\omega_1=1,\ \omega_1=\tfrac\pi2\Rightarrow B_1=\tfrac2\pi;\qquad B_2\omega_2=1,\ \omega_2=\tfrac{3\pi}2\Rightarrow B_2=\tfrac2{3\pi};$ et $B_n=0$ pour $n\ge3$. Finalement : $\boxed{u(x,t)=\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\,\sin\frac{\pi x}2+\frac2{3\pi}\sin\frac{3\pi t}2\,\sin\frac{3\pi x}2.}$

1. $\tau$ est une topologie

• $\varnothing\in\tau$ car $p\notin\varnothing$ ; $E\in\tau$ car $p\in E$ et $E\setminus E=\varnothing$ est fini.
• Union quelconque $\bigcup_i\theta_i$ : si $p$ n'appartient à aucun $\theta_i$, il n'appartient pas à l'union $\Rightarrow$ union $\in\tau$. Sinon $p\in\theta_{i_0}$ avec $E\setminus\theta_{i_0}$ fini ; alors $E\setminus\bigcup_i\theta_i\subset E\setminus\theta_{i_0}$ est fini et $p\in$ union $\Rightarrow$ union $\in\tau$.
• Intersection finie $\bigcap_{k=1}^n\theta_k$ : si $p\notin$ un des $\theta_k$, $p\notin$ intersection $\Rightarrow\in\tau$. Sinon $p$ est dans tous, chacun cofini, et $E\setminus\bigcap_k\theta_k=\bigcup_k(E\setminus\theta_k)$ est fini (union finie de finis) $\Rightarrow\in\tau$.

Donc $\tau$ est une topologie.

2. Ouverts et fermés de $(\mathbb{N},\tau)$ ($p=0$)

Ouverts : les parties ne contenant pas $0$, et les parties contenant $0$ dont le complémentaire est fini (parties cofinies contenant $0$).

Fermés (complémentaires des ouverts) : les parties contenant $0$, et les parties finies ne contenant pas $0$. Autrement dit $F$ fermé $\iff\big(0\in F\big)$ ou $\big(F$ fini et $0\notin F\big)$.

3. Intérieur de $A$ et adhérence de $B$

$\mathring A$, $A=\{0,1,2,3\}$ : un ouvert contenu dans $A$ ou bien ne contient pas $0$ (partie de $\{1,2,3\}$), ou bien contient $0$ avec complémentaire fini — impossible ici car $A$ est fini dans $\mathbb{N}$ infini (complémentaire infini). Le plus grand ouvert contenu dans $A$ est donc $\mathring A=\{1,2,3\}.$

$\overline B$, $B=\mathbb{N}\setminus\{0,1\}=\{2,3,4,\dots\}$ : $B$ est infini et $0\notin B$, donc $B$ n'est pas fermé. Tout fermé contenant $B$ est infini, donc doit contenir $0$ ; le plus petit tel fermé est $\overline B=B\cup\{0\}=\mathbb{N}\setminus\{1\}.$

1. Inclusion dans $C([0,1])$

Si $f\in\mathrm{Lip}_\alpha$, alors pour tous $x,y$ : $|f(x)-f(y)|\le p_\alpha(f)\,|x-y|^\alpha$. Quand $y\to x$, le membre de droite tend vers $0$, donc $f$ est continue (même höldérienne). Ainsi $\mathrm{Lip}_\alpha\subset C([0,1])$.

2. $p_\alpha$ est une norme et $\|f\|_\infty\le p_\alpha(f)$

• Séparation : $p_\alpha(f)=0\Rightarrow|f(0)|=0$ et $\sup\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}=0$, donc $f$ constante $=f(0)=0$, i.e. $f\equiv0$.
• Homogénéité : $p_\alpha(\lambda f)=|\lambda||f(0)|+|\lambda|\sup(\cdots)=|\lambda|\,p_\alpha(f)$.
• Inégalité triangulaire : $|(f+g)(0)|\le|f(0)|+|g(0)|$ et le sup d'une somme est majoré par la somme des sup, d'où $p_\alpha(f+g)\le p_\alpha(f)+p_\alpha(g)$.

Donc $p_\alpha$ est une norme. De plus, pour tout $x\in[0,1]$, $|f(x)|\le|f(0)|+|f(x)-f(0)|\le|f(0)|+\frac{|f(x)-f(0)|}{|x|^\alpha}\,|x|^\alpha\le|f(0)|+\sup_{s\neq t}\frac{|f(s)-f(t)|}{|s-t|^\alpha}=p_\alpha(f),$ car $|x|^\alpha\le1$. En prenant le sup en $x$ : $\|f\|_\infty\le p_\alpha(f)$.

3. Complétude

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy pour $p_\alpha$. D'après 2., $\|f_n-f_m\|_\infty\le p_\alpha(f_n-f_m)$, donc $(f_n)$ est de Cauchy dans $(C([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$ qui est complet : $f_n\to f$ uniformément, avec $f\in C([0,1])$.

Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $p_\alpha(f_n-f_m)<\varepsilon$ pour $m,n\ge N$. Pour $x\neq y$ fixés, $|f_n(0)-f_m(0)|+\frac{|(f_n-f_m)(x)-(f_n-f_m)(y)|}{|x-y|^\alpha}<\varepsilon.$ En faisant $m\to\infty$ (convergence ponctuelle $f_m\to f$), on obtient pour $n\ge N$ : $|f_n(0)-f(0)|+\frac{|(f_n-f)(x)-(f_n-f)(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\varepsilon,$ puis, en passant au sup sur $x\neq y$, $p_\alpha(f_n-f)\le\varepsilon$. Ainsi $f_n-f\in\mathrm{Lip}_\alpha$, donc $f=f_n-(f_n-f)\in\mathrm{Lip}_\alpha$, et $p_\alpha(f_n-f)\to0$. L'espace $(\mathrm{Lip}_\alpha,p_\alpha)$ est donc complet (espace de Banach).