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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

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Faculté des Sciences Exactes et Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques et Informatique, Concours national d'accès à la formation de 3ème cycle (Doctorat LMD) 2024/2025, Mathématiques Appliquées, Épreuve 1 : Équations différentielles, Sujet 03, le 22-02-2025 de 13h00 à 14h30, Durée 90 mn

التمرين 1

Exercice 1 (Oum El Bouaghi 2025, 8 pts) — Problème de Cauchy $x'(t) = 2te^{-t^2 x(t)}$, $x(0)=1$

#problème de Cauchy#solution maximale#parité#monotonie#solution globale

On considère le problème de Cauchy (PC) {x′(t)=2te−t2x(t)x(0)=1(PC)\ \begin{cases} x'(t) = 2te^{-t^2 x(t)}\\ x(0) = 1\end{cases}

  1. Montrer que le problème (PC)(PC) admet une solution maximale unique xx définie sur un intervalle ]α,β[]\alpha,\beta[ contenant 00.

  2. On pose y(t)=x(−t)y(t) = x(-t) pour tout t∈]−β,−α[t\in]-\beta,-\alpha[. Montrer que yy est une solution au problème (PC)(PC). En déduire que α=−β\alpha = -\beta et que la fonction xx est paire.

  3. Étudier la monotonie de la fonction xx sur [0,β[[0,\beta[. En déduire que x(t)≥1x(t)\ge 1 pour tout t∈[0,β[t\in[0,\beta[.

  4. Montrer que x(t)≤2−e−t2x(t) \le 2 - e^{-t^2} pour tout t∈[0,β[t\in[0,\beta[. En déduire que la fonction xx admet une limite finie quand tt tend vers β−\beta^-.

  5. Conclure que le problème (PC)(PC) admet une solution globale unique définie sur R\mathbb{R}.

Schéma classique : (i) Cauchy-Lipschitz local, (ii) symétrie/parité par unicité, (iii) monotonie et bornes a priori, (iv) prolongement au bord si bornée. La borne x(t)≤2−e−t2x(t)\le 2-e^{-t^2} montre que xx reste dans un compact, empêchant l'explosion en temps fini.

◀الحل

  1. F(t,x)=2te−t2xF(t,x) = 2te^{-t^2 x} est C∞C^\infty sur R×R\mathbb{R}\times\mathbb{R}, en particulier localement Lipschitz en xx. Le théorème de Cauchy-Lipschitz donne l'existence et unicité d'une solution maximale x:]α,β[→Rx:]\alpha,\beta[\to\mathbb{R} avec 0∈]α,β[0\in]\alpha,\beta[.

  2. y′(t)=−x′(−t)=−2(−t)e−t2x(−t)=2te−t2y(t)y'(t) = -x'(-t) = -2(-t)e^{-t^2 x(-t)} = 2te^{-t^2 y(t)}, et y(0)=x(0)=1y(0)=x(0)=1. Donc yy vérifie (PC)(PC) sur ]−β,−α[]-\beta,-\alpha[. Par unicité des solutions maximales, y=xy = x sur l'intersection des domaines, et les intervalles maximaux coïncident : ]α,β[=]−β,−α[]\alpha,\beta[ = ]-\beta,-\alpha[, donc α=−β\alpha=-\beta. Et x(−t)=x(t)x(-t)=x(t) : xx est paire.

  3. Sur [0,β[[0,\beta[, x′(t)=2te−t2x(t)≥0x'(t) = 2te^{-t^2 x(t)} \ge 0 (produit de t≥0t\ge 0 et e⋅>0e^{\cdot}>0). Donc xx est croissante sur [0,β[[0,\beta[, et x(t)≥x(0)=1x(t)\ge x(0)=1.

  4. Puisque x(t)≥1x(t)\ge 1, on a e−t2x(t)≤e−t2e^{-t^2 x(t)} \le e^{-t^2}, d'où x′(t)≤2te−t2x'(t)\le 2te^{-t^2}. Intégrant sur [0,t][0,t] : x(t)−1≤∫0t2se−s2ds=[−e−s2]0t=1−e−t2x(t)-1 \le \int_0^t 2se^{-s^2}ds = [-e^{-s^2}]_0^t = 1-e^{-t^2}. Donc x(t)≤2−e−t2x(t)\le 2-e^{-t^2}.

Cette borne étant valable sur [0,β[[0,\beta[ et bornée (≤2\le 2), la solution reste dans un compact. Comme xx est croissante et bornée sur [0,β[[0,\beta[, elle admet une limite finie ℓ∈[1,2]\ell\in[1,2] quand t→β−t\to\beta^-.

  1. Si β<+∞\beta<+\infty, on prolongerait xx au-delà de β\beta (en résolvant (PC)(PC) avec donnée (β,ℓ)(\beta,\ell)), ce qui contredirait la maximalité. Donc β=+∞\beta=+\infty, et par parité α=−∞\alpha=-\infty. La solution est globale sur R\mathbb{R}.

التمرين 2

Exercice 2 (Oum El Bouaghi 2025, 6 pts) — Équation à paramètre $\dot{x} = x^2+\beta^2$

#équation à variables séparables#condition initiale nulle#arctangente

Soit l'équation différentielle suivante dxdt=x2+β2\dfrac{dx}{dt} = x^2 + \beta^2 avec β\beta un paramètre réel strictement positif, et soit a∈]0,∞[a\in]0,\infty[.

  • Montrer qu'il existe une solution maximale ψβ:Iβ→R\psi_\beta : I_\beta\to\mathbb{R} vérifiant ψβ(a)=0\psi_\beta(a)=0.

  • Calculer cette solution et déterminer IβI_\beta.

Explosion en temps fini : la solution tend vers ±∞\pm\infty aux bornes de IβI_\beta. C'est le prototype d'équation dont les solutions ne sont pas globales (contrairement aux équations linéaires ou sous-linéaires). Plus β\beta est grand, plus l'intervalle de vie est court.

◀الحل

Existence-unicité : F(t,x)=x2+β2F(t,x)=x^2+\beta^2 est C∞C^\infty, donc Cauchy-Lipschitz local donne une solution maximale unique.

Calcul : Variables séparables. dxx2+β2=dt\dfrac{dx}{x^2+\beta^2} = dt. Intégrant : 1βarctan⁡xβ=t+C\dfrac{1}{\beta}\arctan\dfrac{x}{\beta} = t + C. Avec ψβ(a)=0\psi_\beta(a)=0 : 0=a+C0 = a+C, C=−aC=-a. Donc arctan⁡ψβ(t)β=β(t−a)\arctan\dfrac{\psi_\beta(t)}{\beta} = \beta(t-a), d'où ψβ(t)=βtan⁡(β(t−a)).\psi_\beta(t) = \beta\tan(\beta(t-a)).

Domaine maximal IβI_\beta : tan⁡\tan est défini pour β(t−a)∈]−π/2,π/2[\beta(t-a)\in]-\pi/2,\pi/2[, soit t∈]a−π2β,a+π2β[t\in]a-\dfrac{\pi}{2\beta}, a+\dfrac{\pi}{2\beta}[. C'est l'intervalle maximal contenant aa : Iβ=]a−π2β, a+π2β[I_\beta = \left]a-\dfrac{\pi}{2\beta},\ a+\dfrac{\pi}{2\beta}\right[.

التمرين 3

Exercice 3 (Oum El Bouaghi 2025, 6 pts) — Système hamiltonien : équilibres et linéarisation

#système hamiltonien#points d'équilibre#linéarisation#stabilité

Considérons le système hamiltonien dxdt=y,dydt=−x+x3.\dfrac{dx}{dt} = y,\quad \dfrac{dy}{dt} = -x + x^3.

  1. Trouver les points d'équilibre du système.

  2. Étudier la stabilité des points d'équilibre en utilisant la méthode de linéarisation.

Portrait typique d'un potentiel à double puits V(x)=x2/2−x4/4V(x)=x^2/2-x^4/4 (attention : ce potentiel n'est pas borné inférieurement, donc pas de double puits fermé). Ici V(x)=x2/2−x4/4V(x) = x^2/2-x^4/4 a un minimum local en 00 et deux maximums locaux en ±1\pm 1. Les séparatrices reliant les selles (±1,0)(\pm 1,0) passent par l'origine (hétéroclines/homoclines).

◀الحل

  1. Équilibres : y=0y=0 et −x+x3=0-x+x^3=0, i.e. x(x2−1)=0x(x^2-1)=0. Donc trois points : P0=(0,0)P_0=(0,0), P1=(1,0)P_1=(1,0), P2=(−1,0)P_2=(-1,0).

  2. Jacobien : J(x,y)=(01−1+3x20)J(x,y) = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1+3x^2 & 0\end{pmatrix}.

En P0P_0 : J(0,0)=(01−10)J(0,0)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}. Valeurs propres : λ2+1=0\lambda^2+1=0, λ=±i\lambda=\pm i. Centre linéaire : la linéarisation ne conclut pas (cas non hyperbolique). Néanmoins, le système est hamiltonien avec H(x,y)=y22+x22−x44H(x,y)=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}. Au voisinage de (0,0)(0,0), HH a un minimum local, donc les orbites sont fermées autour de P0P_0 : centre non linéaire (Lyapunov-stable, non asymptotiquement stable).

En P1=(1,0)P_1=(1,0) : J(1,0)=(0120)J(1,0)=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}. Valeurs propres : λ2=2\lambda^2=2, λ=±2\lambda=\pm\sqrt{2}. Une valeur propre positive, une négative : point selle instable.

En P2=(−1,0)P_2=(-1,0) : Par symétrie (x→−xx\to -x préserve le système), même Jacobien J(−1,0)=(0120)J(-1,0)=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}. Point selle instable.