مسابقة دكتوراه 2025 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 02

1. Existence et unicité

La fonction $f(t,x) = 2te^{-t^2}x$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et de classe $C^1$ en $x$ (linéaire en $x$ à coefficient continu en $t$), donc localement lipschitzienne en $x$, uniformément en $t$ sur tout compact. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, $(PC)$ admet une unique solution maximale $x$, définie sur un intervalle ouvert maximal $I = \,]{-\beta},\beta[ \ni 0$ :

$\boxed{\exists ! \, x : I \to \mathbb{R} \text{ solution maximale de } (PC).}$

2. Parité de $x$ et symétrie de $I$

Soit $y(t) = x(-t)$, définie sur $-I = \,]{-\beta},\beta[= I$ (même intervalle, car $I$ centré en $0$... on le vérifie a posteriori). On a $y'(t) = -x'(-t) = -2(-t)e^{-t^2}x(-t) = 2te^{-t^2}y(t)$, et $y(0) = x(0) = 1$. Donc $y$ est aussi solution de $(PC)$ sur $-I$.

Par unicité de la solution maximale (le domaine maximal est unique), $-I = I$ : $I$ est symétrique par rapport à $0$, donc $I = \,]{-\beta},\beta[$ avec le même $\beta$ des deux côtés. De plus, $y$ et $x$ coïncident sur $I$ tout entier (unicité), soit $x(-t) = x(t)$ :

$\boxed{x \text{ est paire sur } I = \,]{-\beta},\beta[.}$

3. Croissance et signe sur $[0,\beta[$

Comme $x$ ne s'annule jamais (l'équation étant linéaire homogène en $x$ avec $x(0)=1\neq0$, et par unicité $x\equiv 0$ serait l'unique solution s'annulant quelque part), et $x(0)=1>0$, par continuité $x(t) > 0$ sur $I$.

Pour $t \in [0,\beta[$ : $2te^{-t^2} \geq 0$, donc $x'(t) = 2te^{-t^2}x(t) \geq 0$ (car $x>0$) : $x$ est croissante sur $[0,\beta[$, donc $x(t) \geq x(0) = 1$.

$\boxed{x(t) \geq 1 \text{ et } x'(t) \geq 0 \text{ sur } [0,\beta[.}$

4. Majoration explicite de $x$

On réécrit $\dfrac{x'(t)}{x(t)} = 2te^{-t^2}$ (licite car $x>0$), et on intègre entre $0$ et $t < \beta$ :

$\ln x(t) - \ln x(0) = \int_0^t 2se^{-s^2}\,ds = \Big[-e^{-s^2}\Big]_0^t = 1 - e^{-t^2}.$

Comme $x(0)=1$ :

$x(t) = e^{1-e^{-t^2}}.$

Or $e^{-t^2} \in \,]0,1]$ pour $t\geq0$, donc $1-e^{-t^2} \in [0,1[$, d'où :

$\boxed{1 \leq x(t) = e^{1-e^{-t^2}} \leq e \quad \text{pour tout } t \in [0,\beta[.}$

(Remarque : ici on obtient même la solution exacte, ce qui confirme et renforce l'estimation demandée.)

5. Existence globale

La solution $x$ reste bornée ($1 \leq x(t) \leq e$) sur $[0,\beta[$. Si l'on avait $\beta < +\infty$, le théorème des bouts (critère d'explosion en temps fini) affirmerait que $|x(t)| \to +\infty$ quand $t \to \beta^-$ (puisque $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ tout entier, la seule façon de ne pas pouvoir prolonger est l'explosion). Or $x$ est bornée par $e$ : contradiction. Donc $\beta = +\infty$, et par symétrie (question 2) le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier :

$\boxed{x \text{ est définie et solution sur } \mathbb{R} \text{ tout entier} \; (I = \mathbb{R}).}$

1. Résolution par séparation des variables

L'équation $x' = x^2+\beta^2$ est à variables séparables (et $x^2+\beta^2 > 0$ toujours) :

$\frac{dx}{x^2+\beta^2} = dt \implies \frac{1}{\beta}\arctan\left(\frac{x}{\beta}\right) = t + C.$

Avec la condition $\psi_\beta(a) = 0$ : $\frac{1}{\beta}\arctan(0) = a + C \implies C = -a$. Donc :

$\arctan\left(\frac{x}{\beta}\right) = \beta(t-a) \implies \boxed{\psi_\beta(t) = \beta\tan\big(\beta(t-a)\big).}$

2. Intervalle maximal

La fonction $\tan$ est définie sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ (modulo $\pi$), donc $\psi_\beta(t)$ est définie tant que $\beta(t-a) \in \,\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$, soit :

$\boxed{I_\beta = \left]a - \frac{\pi}{2\beta},\; a + \frac{\pi}{2\beta}\right[.}$

3. Explosion en temps fini (théorème des bouts)

Quand $t \to \left(a+\frac{\pi}{2\beta}\right)^-$, $\beta(t-a) \to \frac{\pi}{2}^-$, donc $\tan(\beta(t-a)) \to +\infty$, d'où $\psi_\beta(t) \to +\infty$. De même, $\psi_\beta(t) \to -\infty$ quand $t \to \left(a-\frac{\pi}{2\beta}\right)^+$.

Ceci confirme le théorème des bouts : puisque $f(t,x) = x^2+\beta^2$ est définie et $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ tout entier, la seule obstruction à prolonger la solution au-delà des bornes de $I_\beta$ est l'explosion en valeur absolue, ce qui est bien le cas ici :

$\boxed{\lim_{t \to (a\pm\pi/2\beta)^{\mp}} |\psi_\beta(t)| = +\infty.}$

1. Points d'équilibre

On résout $y = 0$ et $-x+x^3 = x(x^2-1) = 0$, soit $x \in \{0, 1, -1\}$ :

$\boxed{(0,0), \quad (1,0), \quad (-1,0).}$

2. Jacobienne et nature des équilibres

Le champ est $F(x,y) = (y,\, -x+x^3)$, de jacobienne :

$J(x,y) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 1 & 0 \end{pmatrix}.$

En $(0,0)$ : $J(0,0) = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, valeurs propres $\lambda = \pm i$ (imaginaires pures) : cas critique (linéarisation non conclusive ; centre linéaire).

En $(\pm1,0)$ : $J(\pm1,0) = \begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$, équation caractéristique $\lambda^2 - 2 = 0$, valeurs propres $\lambda = \pm\sqrt2$ (réelles de signes opposés) :

$\boxed{(\pm1,0) \text{ sont des points-selles (cols), instables.}}$

3. Intégrale première $H$

Calculons la dérivée de $H$ le long d'une trajectoire $(x(t),y(t))$ :

$\frac{d}{dt}H(x,y) = \frac{\partial H}{\partial x}x' + \frac{\partial H}{\partial y}y' = (x - x^3)\cdot y + y\cdot(-x+x^3) = 0.$

$\boxed{H \text{ est constante le long des trajectoires (intégrale première).}}$

4. Stabilité de l'origine par la fonction de Lyapunov $H$

Au voisinage de $(0,0)$ : $H(x,y) = \dfrac{x^2+y^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}$. Pour $(x,y)$ assez proche de $(0,0)$ (par exemple $|x| < 1$), le terme $\frac{x^4}{4}$ est dominable par $\frac{x^2}{2}$, et l'on peut montrer que $H$ est définie positive au voisinage de l'origine (i.e. $H(x,y) > 0$ pour $(x,y)\neq(0,0)$ proche de $0$, avec $H(0,0)=0$) : en effet $H(x,y) \geq \frac{x^2}{2}(1-\frac{x^2}{2}) + \frac{y^2}{2} > 0$ pour $0<x^2<2$.

Comme $\dot H \equiv 0$ le long des trajectoires (question 3), $H$ est une fonction de Lyapunov (au sens large, $\dot H \leq 0$) pour l'origine. Le théorème de Lyapunov (version stabilité simple, $\dot H \leq 0$) garantit alors :

$\boxed{(0,0) \text{ est un équilibre stable.}}$

Cependant, comme $\dot H \equiv 0$ (et non $< 0$ strictement en dehors de l'origine), les trajectoires proches de $(0,0)$ restent sur les courbes de niveau fermées $\{H = c\}$ (petites orbites périodiques autour du centre) sans converger vers $(0,0)$ :

$\boxed{(0,0) \text{ n'est PAS asymptotiquement stable} \; : \text{c'est un centre (non linéaire).}}$