مسابقة دكتوراه 2025 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 03

1. Existence et unicité locale

$f(t,x)=2t\,e^{-t^2 x}$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$, donc localement lipschitzienne en $x$. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit une solution maximale unique $x$ définie sur un intervalle ouvert $]\alpha,\beta[\ni 0$.

2. Parité

$y(t)=x(-t)$ donne $y'(t)=-x'(-t)=-2(-t)e^{-t^2 x(-t)}=2t\,e^{-t^2 y(t)}$, et $y(0)=x(0)=1$. Donc $y$ vérifie $(PC)$. Par unicité de la solution maximale, $x$ et $y$ coïncident et ont même domaine : $]-\beta,-\alpha[=]\alpha,\beta[$, d'où $\alpha=-\beta$ et $x(-t)=x(t)$ : $x$ est paire.

3. Monotonie et minoration

Pour $t\in[0,\beta[$, $x'(t)=2t\,e^{-t^2 x(t)}\geq 0$, donc $x$ est croissante sur $[0,\beta[$ (et décroissante sur $]-\beta,0]$ par parité). Comme $x(0)=1$, on a $x(t)\geq 1$ sur $[0,\beta[$. Alors $t^2 x(t)\geq t^2$, donc $e^{-t^2 x(t)}\leq e^{-t^2}$ et

$\boxed{x'(t)\leq 2t\,e^{-t^2},\quad t\in[0,\beta[.}$

4. Majoration et limite

En intégrant de $0$ à $t$ : $x(t)-1\leq \int_0^t 2s\,e^{-s^2}ds=\big[-e^{-s^2}\big]_0^t = 1-e^{-t^2}$, donc

$\boxed{x(t)\leq 2-e^{-t^2}\lt 2.}$

$x$ est croissante et majorée par $2$ sur $[0,\beta[$, donc elle admet une limite finie $\ell\in[1,2]$ quand $t\to\beta^-$.

5. Solution globale

Si $\beta\lt +\infty$ : $x$ reste dans le compact $[1,2]$ au voisinage de $\beta$, et $(t,x(t))$ reste dans un compact de $\mathbb{R}^2$. Le critère des bouts (sortie de tout compact) impose alors que la solution se prolonge au-delà de $\beta$, contredisant la maximalité. Donc $\beta=+\infty$, et par parité $\alpha=-\infty$ :

$\boxed{(PC) \text{ admet une unique solution globale définie sur } \mathbb{R}.}$

Existence et unicité

$f(t,x)=x^2+\beta^2$ est $C^1$ en $x$, donc localement lipschitzienne : Cauchy-Lipschitz assure une solution maximale unique $\psi_\beta$ avec $\psi_\beta(a)=0$.

Résolution

Équation à variables séparables :

$\frac{dx}{x^2+\beta^2}=dt \ \Rightarrow\ \frac{1}{\beta}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right)=t+C.$

Avec $\psi_\beta(a)=0$ : $\frac1\beta\arctan 0 = a+C \Rightarrow C=-a$. Donc $\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right)=\beta(t-a)$, soit

$\boxed{\psi_\beta(t)=\beta\tan\!\big(\beta(t-a)\big).}$

Intervalle maximal

La solution est définie tant que $\beta(t-a)\in\ ]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2[$, c'est-à-dire

$\boxed{I_\beta = \left]\,a-\frac{\pi}{2\beta},\ a+\frac{\pi}{2\beta}\,\right[.}$

1. Points d'équilibre

On résout $y=0$ et $-x+x^3=x(x^2-1)=0$, soit $x\in\{0,1,-1\}$ :

$\boxed{(0,0),\ (1,0),\ (-1,0).}$

2. Linéarisation

La jacobienne est

$J(x,y)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1+3x^2 & 0 \end{pmatrix}$

.

En $(0,0)$ :

$J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

, $\det=1$, $\operatorname{tr}=0$, valeurs propres $\pm i$. Le linéarisé est un centre ; comme le système dérive du hamiltonien $H(x,y)=\tfrac12 y^2+\tfrac12 x^2-\tfrac14 x^4$ dont $(0,0)$ est un minimum local, $(0,0)$ est un centre stable (stable au sens de Lyapunov, non asymptotiquement).

En $(\pm 1,0)$ :

$J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

, $\det=-2\lt 0$, valeurs propres $\pm\sqrt2$ (réelles de signes opposés). Ce sont des points selle, donc instables.

$\boxed{(0,0)\text{ centre (stable)},\quad (\pm1,0)\text{ selles (instables)}.}$