مسابقة دكتوراه 2025 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 04

1.

La fonction $f(t,x)=2t\,e^{-t^{2}x}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$, donc localement lipschitzienne en $x$. Par le théorème de Cauchy–Lipschitz, le problème admet une unique solution maximale $x$ définie sur un intervalle ouvert $]\alpha,\beta[\ni 0$.

2.

Posons $y(t)=x(-t)$ sur $]-\beta,-\alpha[$ : $y(0)=1$ et

$y'(t)=-x'(-t)=-2(-t)e^{-(-t)^{2}x(-t)}=2t\,e^{-t^{2}y(t)}$

Donc $y$ est solution du même problème de Cauchy. Par unicité de la solution maximale, $y=x$ et $]-\beta,-\alpha[=]\alpha,\beta[$ :

$\boxed{x(-t)=x(t)\ \text{(paire)},\qquad\alpha=-\beta}$

3.

Le signe de $x'(t)=2t\,e^{-t^{2}x}$ est celui de $t$ : $x$ est décroissante sur $]\alpha,0]$ et croissante sur $[0,\beta[$. Le minimum est donc atteint en $t=0$ :

$\boxed{x(t)\geq x(0)=1\quad\forall t\in\,]\alpha,\beta[}$

4.

Sur $[0,\beta[$, puisque $x(t)\geq 1$ :

$x'(t)=2t\,e^{-t^{2}x(t)}\leq 2t\,e^{-t^{2}}$

En intégrant de $0$ à $t$ :

$x(t)\leq 1+\int_{0}^{t}2s\,e^{-s^{2}}ds=1+\bigl(1-e^{-t^{2}}\bigr)$

$\boxed{1\leq x(t)\leq 2-e^{-t^{2}}\lt 2\ :\ x\text{ est bornée}}$

(Par parité, la même borne vaut sur $]\alpha,0]$.)

5.

Supposons $\beta\lt+\infty$. Sur $[0,\beta[$, $x$ est croissante et majorée par $2$, donc $x(t)\to\ell\in[1,2]$ quand $t\to\beta^{-}$ : la trajectoire $(t,x(t))$ reste dans le compact $[0,\beta]\times[1,2]$. C'est impossible pour une solution maximale non globale (théorème de sortie de tout compact) ; ou encore, la solution se prolonge en $\beta$ par le théorème de Cauchy–Lipschitz appliqué en $(\beta,\ell)$, contredisant la maximalité. Donc $\beta=+\infty$ et par parité $\alpha=-\infty$ :

$\boxed{\text{la solution maximale est globale : }x\in C^{1}(\mathbb{R})}$

1.

L'équation est à variables séparables ($x^{2}+\beta^{2}\gt 0$ partout) :

$\frac{dx}{x^{2}+\beta^{2}}=dt\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{\beta}\arctan\frac{x}{\beta}=t+C$

La condition $x(a)=0$ donne $C=-a$ :

$\boxed{\psi_{\beta}(t)=\beta\,\tan\bigl(\beta\,(t-a)\bigr)}$

2.

La fonction $\tan$ explose lorsque $\beta(t-a)=\pm\frac{\pi}{2}$ :

$\boxed{I_{\beta}=\Bigl]a-\frac{\pi}{2\beta},\ a+\frac{\pi}{2\beta}\Bigr[}$

Commentaire : bien que $f(x)=x^{2}+\beta^{2}$ soit $C^{\infty}$, la croissance quadratique provoque une explosion en temps fini ($\psi_{\beta}\to\pm\infty$ aux bornes) ; l'intervalle d'existence rétrécit quand $\beta$ augmente.

1.

Équilibres : $y=0$ et $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=0$ :

$\boxed{(0,0),\quad(1,0),\quad(-1,0)}$

2.

La matrice jacobienne est de lignes $(0,\ 1)$ et $(3x^{2}-1,\ 0)$.

En $(\pm 1,0)$ : lignes $(0,\ 1)$, $(2,\ 0)$ ; valeurs propres $\lambda=\pm\sqrt{2}$ (une positive, une négative) : points selles, donc

$\boxed{(\pm 1,0)\ \text{sont instables (points selles)}}$

En $(0,0)$ : lignes $(0,\ 1)$, $(-1,\ 0)$ ; valeurs propres $\pm i$ : centre linéaire, le linéarisé ne conclut pas. On utilise l'intégrale première (énergie)

$H(x,y)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}$

En effet $\frac{d}{dt}H=y y'+ (x-x^{3})x'=y(-x+x^{3})+(x-x^{3})y=0$ : $H$ est constante le long des trajectoires. Au voisinage de l'origine, $H$ admet un minimum local strict en $(0,0)$ (sa hessienne est $I_{2}$), donc les courbes de niveau proches de $0$ sont des courbes fermées entourant l'origine : $H$ est une fonction de Lyapunov et les trajectoires restent sur ces niveaux :

$\boxed{(0,0)\ \text{est stable (centre non linéaire), mais pas asymptotiquement stable}}$