مسابقة دكتوراه 2018 — Université Larbi Tébessi - Tébessa — الموضوع 01

On considère le système dynamique

$$\begin{cases} x'(t)=\dfrac1\alpha\bigl(y(t)-h(x(t))\bigr),\\ y'(t)=-\dfrac1\beta x(t), \end{cases}$$

où $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est de classe $C^1$ et $\alpha,\beta>0$.

1. Déterminer l'équilibre du système et discuter sa stabilité.
2. Supposons que $x\,h(x)>0$ pour $x\ne0$. Montrer que l'équilibre est asymptotiquement stable et déterminer son bassin d'attraction.

On considère, pour $t\ge0$,

$$\begin{cases} x'(t)=\alpha x^3(t),\\ y'(t)=\beta y^3(t). \end{cases}$$

1. Donner les points d'équilibre.
2. Déterminer les solutions passant par $(x_0,y_0)$ à $t=0$.
3. Étudier la nature des points d'équilibre.
4. Si $\alpha>0$, $\beta\le0$ et $x_0\ne0$, les solutions sont-elles globales ?

On considère le problème de Cauchy

$$\begin{cases} y'=\dfrac{1}{1+xy},\\ y(0)=0. \end{cases}$$

1. Montrer que ce problème possède une solution maximale unique.
2. Montrer que cette solution est impaire et strictement croissante.
3. Établir qu'elle est définie sur $\mathbb{R}$.
4. Déterminer sa limite lorsque $x\to+\infty$.