مسابقة دكتوراه 2018 — Université M'Hamed Bougara

التمرين 1

Perturbation bornée d'un générateur et opérateur d'ondes

#semi-groupes#générateur infinitésimal#perturbation bornée#Lumer-Phillips#équation des ondes

Soit $E$ un espace de Banach, $A$ le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contractions sur $E$ et $B\in\mathcal L(E)$ .

Pour $g\in E$ et $\lambda>0$ , montrer que $W+B(A+\lambda I)^{-1}W=g$ admet une unique solution $W\in E$ lorsque $\lambda$ est assez grand.
En déduire que $A+B$ , défini par $(A+B)u=Au+Bu$ sur $D(A)$ , engendre un semi-groupe $S(t)$ et donner une majoration de $\|S(t)\|$ .
Dans $H=H^1(\mathbb R^n)\times L^2(\mathbb R^n),$ muni du produit scalaire énergétique, considérer $\mathcal A=\begin{pmatrix}0&I\\ \Delta&0\end{pmatrix},\qquad D(\mathcal A)=H^2(\mathbb R^n)\times H^1(\mathbb R^n).$ Montrer que $\mathcal A$ est maximal dissipatif et en déduire qu'il engendre un $C_0$ -semi-groupe sur $H$ .

◀الحل

Pour un semi-groupe de contractions, $\|(\lambda I-A)^{-1}\|\le 1/\lambda$ pour $\lambda>0$ (le signe $A+\lambda I$ du sujet s'obtient selon la convention choisie). Ainsi $\|B(\lambda I-A)^{-1}\|\le \frac{\|B\|}{\lambda}<1$ pour $\lambda>\|B\|$ . L'opérateur $I+B(\lambda I-A)^{-1}$ est alors inversible par la série de Neumann, d'où l'existence et l'unicité de $W$ .
Le théorème de perturbation bornée donne que $A+B$ engendre un $C_0$ -semi-groupe. La formule de Dyson-Phillips et Grönwall donnent $\|S(t)\|\le e^{t\|B\|},\qquad t\ge0.$
Pour $U=(u,v)\in D(\mathcal A)$ , une intégration par parties donne $\operatorname{Re}\langle \mathcal AU,U\rangle_H=0,$ donc $\mathcal A$ et $-\mathcal A$ sont dissipatifs. Pour $F=(f,g)$ , résoudre $(I-\mathcal A)(u,v)=F$ revient à $v=u-f$ puis $(I-\Delta)u=f+g,$ qui admet une unique solution $u\in H^2$ par Fourier ou Lax-Milgram; alors $v\in H^1$ . Ainsi $\operatorname{Ran}(I-\mathcal A)=H$ . Par Lumer-Phillips, $\mathcal A$ est maximal dissipatif et engendre un semi-groupe de contractions, en fait un groupe unitaire.

التمرين 2

Continuité forte, semi-groupe adjoint et générateur adjoint

#semi-groupes#continuité forte#adjoint#générateur

Soit $H$ un espace de Hilbert identifié à son dual. Soit $T=\{T(t):t\ge0\}$ telle que $T(0)=I$ , $T(t+s)=T(t)T(s)$ et $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ . Pour $f\in H$ , poser $f_t=\frac1t\int_0^tT(s)f\,ds.$

Montrer que $\|T(h)f_t-f_t\|\to0$ quand $h\to0$ .
Si, pour tous $f,g\in H$ , $t\mapsto\langle T(t)f,g\rangle$ est continue, montrer que $T$ est un $C_0$ -semi-groupe.
Si $A:D(A)\to H$ engendre $T$ , montrer que $T^*(t)=T(t)^*$ est un $C_0$ -semi-groupe sur $H$ .
Si $B$ est son générateur, montrer que $B=A^*$ .

◀الحل

Par la propriété de semi-groupe, $T(h)f_t-f_t=\frac1t\left(\int_t^{t+h}T(s)f\,ds-\int_0^hT(s)f\,ds\right),$ dont la norme tend vers $0$ avec $h$ grâce à la borne exponentielle.
L'hypothèse donne la continuité faible. Les vecteurs moyennés $f_t$ sont fortement continus par 1 et $f_t\rightharpoonup f$ lorsque $t\downarrow0$ . La borne locale uniforme de $T(t)$ , puis un argument de densité, donnent $\|T(h)f-f\|\to0$ . Donc $T$ est fortement continu.
Pour $f,g\in H$ , $t\mapsto\langle T^*(t)f,g\rangle=\langle f,T(t)g\rangle$ est continue. Le résultat 2 appliqué à $T^*$ donne sa continuité forte.
Pour $x\in D(A)$ et $y\in D(B)$ , $\langle Ax,y\rangle=\lim_{t\downarrow0}\left\langle\frac{T(t)x-x}{t},y\right\rangle=\langle x,By\rangle.$ Ainsi $B\subset A^*$ . La comparaison des résolvantes, $(\lambda I-B)^{-1}=((\lambda I-A)^{-1})^*$ , donne l'égalité des domaines et donc $B=A^*$ .

التمرين 3

Unicité rétrograde pour l'équation de la chaleur

#équation de la chaleur#unicité#log-convexité#EDP

Soit $U\subset\mathbb R^n$ un ouvert borné et $u_1,u_2\in C^2([0,T]\times U)$ deux solutions de $\partial_tu-\Delta u=0\quad\text{dans }[0,T]\times U,$ $u=\alpha\quad\text{sur }[0,T]\times\partial U.$ On suppose $u_1(T)=u_2(T)$ .

Poser $W=u_1-u_2$ et $g(t)=\int_UW(t,x)^2dx$ . Montrer que $(g'(t))^2\le g(t)g''(t).$
Si $g>0$ sur un intervalle $[a,b]\subset[0,T]$ , poser $f(t)=\log g(t)$ et montrer que $f$ est convexe.
En déduire que $u_1=u_2$ sur $[0,T]\times U$ .

◀الحل

Comme $W_t=\Delta W$ et $W=0$ sur $\partial U$ , $g'=2\int_UW\Delta W=-2\int_U|\nabla W|^2.$ Puis $g''=4\int_U(\Delta W)^2.$ Cauchy-Schwarz donne $(g')^2=4\left(\int_UW\Delta W\right)^2\le4\int_UW^2\int_U(\Delta W)^2=gg''.$

Si $g>0$ , $(\log g)''=\frac{gg''-(g')^2}{g^2}\ge0,$ donc $\log g$ est convexe. La log-convexité implique, pour $0<t<T$ , $g(t)\le g(0)^{1-t/T}g(T)^{t/T}.$ Or $g(T)=0$ , donc $g(t)=0$ pour tout $t>0$ , puis aussi $g(0)=0$ par continuité. Ainsi $W\equiv0$ et $u_1=u_2$ .