مسابقة دكتوراه 2023 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès — الموضوع 01

1. $\mathcal{T}$ est une topologie

On vérifie les trois axiomes :

• $\emptyset\in\mathcal{T}$ et $X\in\mathcal{T}$.
• Stabilité par intersection finie : $\{1\}\cap X=\{1\}$, $\{1\}\cap\emptyset=\emptyset$, $X\cap\emptyset=\emptyset$ ; toutes les intersections restent dans $\mathcal{T}$.
• Stabilité par réunion quelconque : $\{1\}\cup X=X$, $\{1\}\cup\emptyset=\{1\}$, etc. ; toutes les réunions restent dans $\mathcal{T}$.

Donc $\mathcal{T}$ est une topologie sur $X$.

2. Convergence et séparation

Les voisinages d'un point sont déterminés par les ouverts le contenant.

• Voisinages de $0$ : le seul ouvert contenant $0$ est $X$ tout entier. Donc toute suite $(x_n)$ est, à partir du rang $0$, dans tout voisinage de $0$ : toute suite converge vers $0$.
• Voisinages de $1$ : ce sont $\{1\}$ et $X$. Une suite converge vers $1$ si et seulement si elle est stationnaire égale à $1$ à partir d'un certain rang.

En particulier la suite constante $x_n=1$ converge à la fois vers $1$ et vers $0$ : la limite n'est pas unique. L'espace n'est pas séparé : les points $0$ et $1$ ne peuvent pas être séparés par des ouverts disjoints (tout ouvert contenant $0$ est $X$, qui contient aussi $1$).

3. Fonctions indicatrices continues

$\mathbb{1}_A:X\to\mathbb{R}$ est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de $\mathbb{R}$ est un ouvert de $X$. En prenant des ouverts séparant $0$ et $1$ dans $\mathbb{R}$, la continuité équivaut à ce que $A=\mathbb{1}_A^{-1}(\{1\})$ et $A^c=\mathbb{1}_A^{-1}(\{0\})$ soient tous deux ouverts, c'est-à-dire que $A$ soit à la fois ouvert et fermé.

Les parties ouvertes sont $\emptyset,\{1\},X$ ; leurs complémentaires sont $X,\{0\},\emptyset$. La partie $\{1\}$ est ouverte mais son complémentaire $\{0\}$ ne l'est pas ; donc les seuls ouverts-fermés (clopen) sont : $\boxed{A=\emptyset\quad\text{et}\quad A=X.}$ Autrement dit, les seules fonctions indicatrices continues sont les deux fonctions constantes $\mathbb{1}_\emptyset\equiv 0$ et $\mathbb{1}_X\equiv 1$.

Partie A

1. Position de l'origine

La distance de l'origine au centre de $w_n$ vaut $d_n=\left\|\left(\tfrac1n,\tfrac1n\right)\right\|=\frac{\sqrt2}{n},$ à comparer au rayon $r_n=\dfrac{k}{n}$. Ainsi $(0,0)\in w_n\iff d_n\le r_n\iff \frac{\sqrt2}{n}\le\frac{k}{n}\iff k\ge\sqrt2 .$ Donc si $k\ge\sqrt2$, l'origine appartient à tous les $w_n$ ; si $k<\sqrt2$, elle n'appartient à aucun $w_n$.

2. CNS pour que $\Omega$ soit fermé

Les centres $\left(\tfrac1n,\tfrac1n\right)\to(0,0)$ et les rayons $\tfrac{k}{n}\to 0$ : tout point $p_n\in w_n$ vérifie $\|p_n\|\le d_n+r_n=\tfrac{\sqrt2+k}{n}\to0$. L'origine est donc toujours un point adhérent à $\Omega$ (limite de points de $w_n$).

• Si $k<\sqrt2$ : l'origine est adhérente à $\Omega$ mais $(0,0)\notin\Omega$ (question 1), donc $\Omega$ n'est pas fermé.
• Si $k\ge\sqrt2$ : montrons que $\Omega$ est fermé. Soit $p$ adhérent à $\Omega$ : $p=\lim p_j$ avec $p_j\in w_{n_j}$. Deux cas :
  • si $(n_j)$ admet une valeur $N$ atteinte une infinité de fois, alors une sous-suite reste dans le compact $w_N$, donc $p\in w_N\subset\Omega$ ;
  • sinon $n_j\to\infty$, d'où $\|p_j\|\le\tfrac{\sqrt2+k}{n_j}\to0$, donc $p=(0,0)\in\Omega$ (car $k\ge\sqrt2$).

Dans tous les cas $p\in\Omega$. Conclusion : $\boxed{\Omega\text{ est fermé}\iff k\ge\sqrt2 .}$

Partie B — Valeurs d'adhérence de $(\cos n)$

Comme $|\cos n|\le 1$, toute valeur d'adhérence appartient à $[-1,1]$.

Réciproquement, soit $\ell\in[-1,1]$ et $\theta\in[0,\pi]$ tel que $\cos\theta=\ell$. Le sous-groupe $\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (car $2\pi$ est irrationnel, donc $1$ et $2\pi$ sont incommensurables). Il existe donc des entiers $n_j\ge1$ et $m_j$ tels que $n_j-2\pi m_j\to\theta$, c'est-à-dire $n_j\equiv \theta_j \pmod{2\pi}$ avec $\theta_j\to\theta$ (quitte à extraire, $n_j\to+\infty$). Par continuité et $2\pi$-périodicité du cosinus, $\cos n_j=\cos(\theta_j)\longrightarrow\cos\theta=\ell .$ Donc tout $\ell\in[-1,1]$ est valeur d'adhérence. Finalement $\boxed{\text{l'ensemble des valeurs d'adhérence de }(\cos n)\text{ est }[-1,1].}$

1. Continuité et norme de $T$

La linéarité est immédiate. Pour $x\in E$ et $t\in[0,1]$, $|(Tx)(t)|=\left|\int_0^t x(u)\,du\right|\le\int_0^t|x(u)|\,du\le t\,\|x\|_\infty\le\|x\|_\infty,$ donc $\|Tx\|_\infty\le\|x\|_\infty$ et $T$ est continu avec $\|T\|\le1$. En prenant $x\equiv1$, $(Tx)(t)=t$ et $\|Tx\|_\infty=1=\|x\|_\infty$ ; d'où $\boxed{\|T\|=1.}$

2. Noyau itéré

Initialisation ($n=1$) : $(Tx)(t)=\int_0^t x(u)\,du=\int_0^t\frac{(t-u)^0}{0!}x(u)\,du$. ✔

Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$. Alors $(T^{n+1}x)(t)=\big(T(T^n x)\big)(t)=\int_0^t (T^n x)(s)\,ds=\int_0^t\!\!\int_0^s\frac{(s-u)^{n-1}}{(n-1)!}x(u)\,du\,ds.$ Par le théorème de Fubini (fonction continue sur le triangle $0\le u\le s\le t$) : $=\int_0^t x(u)\left(\int_u^t\frac{(s-u)^{n-1}}{(n-1)!}\,ds\right)du=\int_0^t x(u)\,\frac{(t-u)^{n}}{n!}\,du.$ La formule est donc vraie au rang $n+1$. Le noyau itéré est $\boxed{K_n(t,u)=\frac{(t-u)^{n-1}}{(n-1)!}\quad(0\le u\le t),\qquad K_n(t,u)=0\ \text{sinon}.}$

3. Norme de $T^n$ et sommabilité

Pour $x\in E$, $|(T^n x)(t)|\le\|x\|_\infty\int_0^t\frac{(t-u)^{n-1}}{(n-1)!}\,du=\|x\|_\infty\,\frac{t^n}{n!}\le\frac{\|x\|_\infty}{n!},$ donc $\|T^n\|\le\dfrac1{n!}$. L'égalité s'obtient avec $x\equiv1$ : $(T^n1)(t)=\dfrac{t^n}{n!}$, de sup $\dfrac1{n!}$. D'où $\boxed{\|T^n\|=\frac1{n!}\quad(n\ge0).}$

Comme $\displaystyle\sum_{n\ge0}\|T^n\|=\sum_{n\ge0}\frac1{n!}=e<\infty$, la série $\sum T^n$ est normalement (donc absolument) convergente dans l'algèbre de Banach $\mathcal{L}(E)$, qui est complète : la famille $(T^n)_{n\ge0}$ est sommable. Comme $\|T\|=1$ mais $\|T^n\|\to0$ (rayon spectral nul), $I-T$ est inversible et $\boxed{\sum_{n\ge0}T^n=(I-T)^{-1},}$ qui est l'opérateur $x\mapsto y$ résolvant l'équation de Volterra $y(t)-\int_0^t y=x(t)$.