مسابقة دكتوراه 2023 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès — الموضوع 01

1. $M_q$ est fermé et de domaine dense

Fermeture. Soit $(f_n)\subset D(M_q)$ avec $f_n\to f$ et $M_q f_n=q f_n\to g$ dans $X$ (convergence uniforme). La convergence uniforme entraîne la convergence ponctuelle : pour tout $\omega$, $f_n(\omega)\to f(\omega)$ et $q(\omega)f_n(\omega)\to g(\omega)$. Donc $g(\omega)=q(\omega)f(\omega)$, i.e. $qf=g\in X$, ce qui donne $f\in D(M_q)$ et $M_q f=g$. L'opérateur est fermé.

Densité. Les fonctions de $X$ à support compact, $\mathcal{C}_c(\Omega)$, sont denses dans $X=\mathcal{C}_0(\Omega)$. Or si $f\in\mathcal{C}_c(\Omega)$, alors $qf$ est continue à support compact, donc $qf\in X$ et $f\in D(M_q)$. Ainsi $\mathcal{C}_c(\Omega)\subset D(M_q)$, d'où $\overline{D(M_q)}=X$.

2. Caractérisation de la bornitude

Si $q$ est bornée, alors pour tout $f\in X$, $\|qf\|_\infty\le\|q\|_\infty\|f\|_\infty<\infty$ et $qf\in X$ (produit d'une fonction bornée continue par une fonction de $\mathcal{C}_0$ tend vers $0$). Donc $D(M_q)=X$ et $\|M_q\|\le\|q\|_\infty$.

Réciproquement, si $q$ n'est pas bornée, on choisit $\omega_n$ avec $|q(\omega_n)|\to\infty$ et des fonctions $f_n\in X$ avec $\|f_n\|_\infty=1$, $f_n(\omega_n)=1$ (à support voisinage compact de $\omega_n$) ; alors $\|M_q f_n\|_\infty\ge|q(\omega_n)|\to\infty$, donc $M_q$ n'est pas borné.

Enfin $\|M_q\|=\sup_{\|f\|_\infty\le1}\|qf\|_\infty=\|q\|_\infty$ (en approchant $\sup|q|$ par des $f$ concentrées).

3. Inversibilité

Si $0\notin\overline{q(\Omega)}$ : alors $\delta:=\mathrm{dist}(0,\overline{q(\Omega)})>0$, donc $|q(\omega)|\ge\delta$ pour tout $\omega$ et $1/q$ est continue bornée ($\|1/q\|_\infty\le1/\delta$). Pour $g\in X$, $f:=g/q\in X$ (car $1/q$ bornée continue $\times$ $\mathcal{C}_0$), et $M_q f=g$ ; de même $M_{1/q}M_q=M_q M_{1/q}=I$. Donc $M_q$ est inversible et $M_q^{-1}=M_{1/q}$, borné de norme $\le1/\delta$.

Si $0\in\overline{q(\Omega)}$ : il existe $\omega_n$ avec $q(\omega_n)\to0$. Avec des $f_n$ normalisées concentrées en $\omega_n$, $\|M_q f_n\|_\infty\to0$ alors que $\|f_n\|_\infty=1$ : $M_q$ n'est pas borné inférieurement, donc pas inversible d'inverse borné.

4. Spectre

Pour $\lambda\in\mathbb{C}$, $M_q-\lambda I=M_{q-\lambda}$. D'après la question 3, $M_{q-\lambda}$ est inversible (d'inverse borné) si et seulement si $0\notin\overline{(q-\lambda)(\Omega)}=\overline{q(\Omega)}-\lambda$, c'est-à-dire $\lambda\notin\overline{q(\Omega)}$. Donc $\boxed{\sigma(M_q)=\overline{q(\Omega)}.}$

5. Semi-groupe de multiplication

Posons $T_q(t)f=e^{tq}f$. Comme $\mathrm{Re}\,q\le\lambda_0$, on a $|e^{tq(\omega)}|=e^{t\,\mathrm{Re}\,q(\omega)}\le e^{\lambda_0 t}$, donc $e^{tq}$ est bornée continue et $T_q(t)\in\mathcal{L}(X)$ avec $\|T_q(t)\|\le e^{\lambda_0 t}$.

• Propriété de semi-groupe : $T_q(0)=I$ et $e^{(t+s)q}=e^{tq}e^{sq}$ donne $T_q(t+s)=T_q(t)T_q(s)$.
• Forte continuité : pour $f\in X$, $\|T_q(t)f-f\|_\infty=\sup_\omega|e^{tq(\omega)}-1|\,|f(\omega)|$. Sur le support essentiel (où $|f|\ge\varepsilon$, compact car $f\in\mathcal{C}_0$) $q$ est bornée et $e^{tq}\to1$ uniformément ; ailleurs $|f|<\varepsilon$. On en déduit $\|T_q(t)f-f\|_\infty\to0$ quand $t\to0^+$.
• Générateur : pour $f\in D(M_q)$, $\dfrac{T_q(t)f-f}{t}=\dfrac{e^{tq}-1}{t}f\to qf=M_q f$ dans $X$ (domination par $|q|\,|f|$ sur le compact utile). Réciproquement, si la limite existe dans $X$, alors $qf\in X$, donc $f\in D(M_q)$. Le générateur de $(T_q(t))$ est exactement $\boxed{A=M_q,\qquad D(A)=D(M_q).}$

1. Existence du semi-groupe perturbé (théorème de perturbation bornée)

On construit $S(t)$ par la série de Dyson-Phillips : $S(t)=\sum_{n\ge0}S_n(t)$ avec $S_0(t)=T(t),\qquad S_{n+1}(t)x=\int_0^t T(t-s)\,B\,S_n(s)x\,ds.$ Par récurrence, $\|S_n(t)\|\le M e^{\omega t}\dfrac{(M\|B\|t)^n}{n!}$. En effet, si l'estimation vaut au rang $n$, $\|S_{n+1}(t)\|\le\int_0^t Me^{\omega(t-s)}\|B\|\,Me^{\omega s}\frac{(M\|B\|s)^n}{n!}\,ds=Me^{\omega t}\frac{(M\|B\|t)^{n+1}}{(n+1)!}.$ La série converge donc normalement dans $\mathcal{L}(X)$ et $\|S(t)\|\le\sum_{n\ge0}Me^{\omega t}\frac{(M\|B\|t)^n}{n!}=M e^{(\omega+M\|B\|)t}.$ On vérifie que $(S(t))$ est un $C_0$-semi-groupe fortement continu et que son générateur est $A+B$ sur $D(A)$ (c'est le théorème de perturbation bornée de Phillips).

2. Formule de Duhamel

Fixons $x\in D(A)$ et $t>0$. Pour $0\le s\le t$, considérons $\varphi(s)=T(t-s)S(s)x$. Cette fonction est dérivable et $\varphi'(s)=-A\,T(t-s)S(s)x+T(t-s)C\,S(s)x=T(t-s)(C-A)S(s)x=T(t-s)\,B\,S(s)x,$ car $C-A=B$ et $\dfrac{d}{ds}S(s)x=CS(s)x$, $\dfrac{d}{ds}T(t-s)y=-AT(t-s)y$. En intégrant de $0$ à $t$ : $\varphi(t)-\varphi(0)=S(t)x-T(t)x=\int_0^t T(t-s)\,B\,S(s)x\,ds.$ Les deux membres étant continus en $x$ et $D(A)$ étant dense, la formule s'étend à tout $x\in X$ : $\boxed{S(t)x=T(t)x+\int_0^t T(t-s)\,B\,S(s)x\,ds.}$

3. Estimation de $S(t)-T(t)$

D'après la formule de Duhamel et les bornes $\|T(t-s)\|\le Me^{\omega(t-s)}$, $\|S(s)\|\le Me^{(\omega+M\|B\|)s}$ : $\|S(t)-T(t)\|\le\int_0^t Me^{\omega(t-s)}\|B\|\,Me^{(\omega+M\|B\|)s}\,ds\le M^2\|B\|\,e^{(\omega+M\|B\|)t}\int_0^t ds.$ D'où $\boxed{\|S(t)-T(t)\|\le t\,M^2\|B\|\,e^{(\omega+M\|B\|)t}.}$ Sur tout intervalle $[0,t_0]$ borné, en posant $M'=M^2\|B\|e^{(\omega+M\|B\|)t_0}$, on obtient $\|S(t)-T(t)\|\le tM'$ : les deux semi-groupes coïncident à l'ordre $1$ en $t=0$.

1. Forme abstraite

On pose $X=L^2(0,1)$ et $\mathcal{A}u=u''-a\,u'-u,\qquad D(\mathcal{A})=\{u\in H^2(0,1):\ u(0)=0,\ u'(1)=0\}.$ Le problème s'écrit alors comme le problème de Cauchy abstrait $\boxed{u'(t)=\mathcal{A}u(t),\quad t\in(0,T),\qquad u(0)=u_0\in X.}$

2. L'opérateur de diffusion engendre un semi-groupe analytique de contractions

$A_0u=u''$ sur $D(A_0)$ est auto-adjoint et dissipatif : pour $u\in D(A_0)$, une intégration par parties donne $\langle A_0u,u\rangle=\int_0^1 u''\bar u\,dx=\big[u'\bar u\big]_0^1-\int_0^1|u'|^2\,dx=-\int_0^1|u'|^2\,dx\le0,$ car les termes de bord s'annulent grâce à $u(0)=0$ et $u'(1)=0$. Donc $A_0$ est symétrique négatif. On vérifie que $A_0$ est à résolvante non vide (par Lax-Milgram, $\lambda-A_0$ est surjectif pour $\lambda>0$), donc $A_0$ est auto-adjoint $\le0$. Par le théorème de Hille-Yosida (cas dissipatif / Lumer-Phillips), $A_0$ engendre un $C_0$-semi-groupe de contractions $(e^{tA_0})$, et étant auto-adjoint borné supérieurement, ce semi-groupe est analytique.

3. Perturbation par les termes d'ordre inférieur

Écrivons $\mathcal{A}=A_0+B$ avec $Bu=-a\,u'-u$. Le terme $-u$ est borné sur $X$. Le terme $-a\,u'$ est $A_0$-borné de borne relative nulle : par l'inégalité d'interpolation (Ehrling / Gagliardo-Nirenberg) sur $(0,1)$, $\|u'\|_{L^2}\le\varepsilon\|u''\|_{L^2}+C_\varepsilon\|u\|_{L^2},\qquad\forall\varepsilon>0,\ u\in D(A_0),$ donc $\|Bu\|\le\varepsilon\|A_0u\|+C'_\varepsilon\|u\|$ avec $\varepsilon$ arbitrairement petit. Par le théorème de perturbation des générateurs de semi-groupes analytiques (perturbation relativement bornée de borne $<1$ d'un générateur analytique), $\mathcal{A}=A_0+B$ engendre encore un $C_0$-semi-groupe analytique $(S(t))_{t\ge0}$ sur $X$.

Par conséquent, pour tout $u_0\in X=L^2(0,1)$, le problème admet une unique solution (au sens des semi-groupes / solution mild) $\boxed{u(t)=S(t)u_0,\qquad t\in[0,T],}$ qui est une solution classique sur $(0,T)$ (régularisation parabolique : $u(t)\in D(\mathcal{A})$ pour $t>0$ grâce à l'analyticité), continue à valeurs dans $X$ et vérifiant $u(0)=u_0$. L'unicité résulte de ce que $\mathcal{A}$ est un générateur (le problème de Cauchy abstrait est bien posé).