مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues d'un espace topologique $X$ vers un espace topologique séparé $Y$.

1. Vérifier que

$$A=\{x\in X:f(x)=g(x)\}$$

est fermé.

On suppose maintenant $Y=\mathbb{R}$.

2. Montrer que

$$A=\{x\in X:1<f(x)<2\}$$

est ouvert.

3. Montrer que

$$B=\{x\in X:f(x)\le g(x)\}$$

est fermé.

Soit $B=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ l'endomorphisme défini par

$$f(e_1)=2e_1+e_2+3e_3, \qquad f(e_2)=e_2-3e_3, \qquad f(e_3)=-2e_2+2e_3.$$

1. Pour $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$, déterminer $f(x)$.
2. Soient

$$E=\{x\in\mathbb{R}^3:f(x)=2x\}, \qquad F=\{x\in\mathbb{R}^3:f(x)=-x\}.$$

Montrer que $E$ et $F$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$. 3. Donner une base de $E$ et une base de $F$. 4. A-t-on $E\oplus F=\mathbb{R}^3$ ?

Soit $f\in C^2([0,1])$. On cherche une approximation $u:[0,1]\to\mathbb{R}$ du problème

$$\begin{cases} -u''(x)+\dfrac{1}{x+1}u'(x)=f(x),\\ u(0)=a,\\ u(1)=b. \end{cases}$$

On admet que ce problème possède une unique solution $u\in C^4([0,1])$.

On utilise une méthode de différences finies centrées. Soit $N\in\mathbb{N}^*$, $h=\frac1{N+1}$, et $u_i$ la valeur approchée de $u$ au point $x_i=ih$, $i=1,\ldots,N$. On pose

$$u_h=(u_1,u_2,\ldots,u_N)^T.$$

1. Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire $A_hu_h=b_h$ et déterminer $A_h\in\mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ ainsi que $b_h\in\mathbb{R}^N$.
2. Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant et donner une majoration de l'erreur de consistance.