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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1 · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle « Doctorat LMD », intitulé du doctorat « Mathématiques pures et applications », examen « Mathématiques générales » (coefficient 1), Université Mohamed Boudiaf de M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, le 02/11/2019, durée 1h30 (13h00–14h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Algèbre linéaire : composition nulle, bases et formes linéaires

#linear-maps#kernel-image#determinant#dual-basis

(07 points)

  1. Soient f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G deux applications linéaires. Montrer que

g∘f=0  ⟺  Im⁡f⊆ker⁡gg\circ f=0\iff\operatorname{Im}f\subseteq\ker g

  1. Montrer que les colonnes de la matrice AA de lignes (a, b)(a,\ b) et (c, d)(c,\ d) forment une base de R2\mathbb{R}^{2} si et seulement si ad−bc≠0ad-bc\neq 0.
  2. On considère les formes linéaires f1(x,y)=x+yf_{1}(x,y)=x+y et f2(x,y)=x−yf_{2}(x,y)=x-y. Montrer que (f1,f2)(f_{1},f_{2}) est une base de L(R2,R)\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}), puis exprimer dans cette base les formes g(x,y)=xg(x,y)=x et h(x,y)=2x−6yh(x,y)=2x-6y.
◀الحل

1.

Sens direct : si g∘f=0g\circ f=0, alors pour tout y=f(x)∈Im⁡fy=f(x)\in\operatorname{Im}f, g(y)=g(f(x))=0g(y)=g(f(x))=0, donc y∈ker⁡gy\in\ker g.

Réciproque : si Im⁡f⊆ker⁡g\operatorname{Im}f\subseteq\ker g, alors pour tout x∈Ex\in E, f(x)∈ker⁡gf(x)\in\ker g, donc g(f(x))=0g(f(x))=0, c'est-à-dire g∘f=0g\circ f=0.

g∘f=0  ⟺  Im⁡f⊆ker⁡g\boxed{g\circ f=0\iff\operatorname{Im}f\subseteq\ker g}

2.

Les colonnes u=(a,c)u=(a,c) et v=(b,d)v=(b,d) forment une base de R2\mathbb{R}^{2} (dimension 2) si et seulement si elles sont linéairement indépendantes, i.e. si λu+μv=0\lambda u+\mu v=0 implique λ=μ=0\lambda=\mu=0. Ce système linéaire homogène n'admet que la solution triviale si et seulement si son déterminant est non nul :

(u,v) base de R2  ⟺  det⁡A=ad−bc≠0\boxed{(u,v)\text{ base de }\mathbb{R}^{2}\iff\det A=ad-bc\neq 0}

3.

L(R2,R)\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}) est de dimension 2 (dual de R2\mathbb{R}^{2}). Dans la base duale canonique (e1∗,e2∗)(e_{1}^{*},e_{2}^{*}) (où e1∗(x,y)=xe_{1}^{*}(x,y)=x, e2∗(x,y)=ye_{2}^{*}(x,y)=y), f1=e1∗+e2∗f_{1}=e_{1}^{*}+e_{2}^{*} et f2=e1∗−e2∗f_{2}=e_{1}^{*}-e_{2}^{*} ont pour déterminant de coordonnées 1×(−1)−1×1=−2≠01\times(-1)-1\times 1=-2\neq 0 : (f1,f2)(f_{1},f_{2}) est libre donc une base.

Expression de gg : g=αf1+βf2g=\alpha f_{1}+\beta f_{2} donne α+β=1\alpha+\beta=1 et α−β=0\alpha-\beta=0, donc

g=12f1+12f2\boxed{g=\frac{1}{2}f_{1}+\frac{1}{2}f_{2}}

Expression de hh : α+β=2\alpha+\beta=2 et α−β=−6\alpha-\beta=-6, donc α=−2\alpha=-2, β=4\beta=4 :

h=−2f1+4f2\boxed{h=-2f_{1}+4f_{2}}

التمرين 2

Exercice 2 — Topologie : ensembles ouverts et fermés associés à une fonction continue

#topology#continuity#open-closed-sets#interior-closure

(06 points) Soit f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} une fonction continue. On définit :

A={x∈R:f(x)>0},B={x∈R:f(x)≥0}A=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\gt 0\},\qquad B=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\geq 0\}

C={(x,y)∈R2:y>f(x)},D={(x,y)∈R2:y≥f(x)}C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\gt f(x)\},\qquad D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\geq f(x)\}

  1. Montrer que AA est ouvert, que BB est fermé, que CC est ouvert et que DD est fermé.
  2. Comparer AA avec l'intérieur de BB, et l'adhérence de AA avec BB. Donner des contre-exemples lorsque les égalités n'ont pas lieu.
◀الحل

1.

A=f−1(]0,+∞[)A=f^{-1}(]0,+\infty[) est l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue : AA est ouvert. B=f−1([0,+∞[)B=f^{-1}([0,+\infty[) est l'image réciproque d'un fermé : BB est fermé.

La fonction φ(x,y)=y−f(x)\varphi(x,y)=y-f(x) est continue sur R2\mathbb{R}^{2} ; C=φ−1(]0,+∞[)C=\varphi^{-1}(]0,+\infty[) est ouvert et D=φ−1([0,+∞[)D=\varphi^{-1}([0,+\infty[) est fermé.

2.

Comme A⊆BA\subseteq B et AA est ouvert, A⊆int⁡(B)A\subseteq\operatorname{int}(B). Comme A⊆BA\subseteq B et BB est fermé, A‾⊆B\overline{A}\subseteq B.

Les égalités sont fausses en général. Contre-exemple : f≡0f\equiv 0. Alors A=∅A=\varnothing, donc A‾=∅\overline{A}=\varnothing et int⁡(B)=int⁡(R)=R\operatorname{int}(B)=\operatorname{int}(\mathbb{R})=\mathbb{R}, tandis que B=RB=\mathbb{R} :

A=∅⊊int⁡(B)=R,A‾=∅⊊B=RA=\varnothing\subsetneq\operatorname{int}(B)=\mathbb{R},\qquad\overline{A}=\varnothing\subsetneq B=\mathbb{R}

A⊆int⁡(B) et A‾⊆B, inclusions strictes possibles\boxed{A\subseteq\operatorname{int}(B)\ \text{et}\ \overline{A}\subseteq B,\ \text{inclusions strictes possibles}}

(Remarque : l'exercice 3 de ce sujet, portant sur les différences finies, est illisible/tronqué sur le document scanné et n'a pas pu être reproduit.)