مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1

Concours d'accès à la formation de troisième cycle « Doctorat LMD » — Intitulé du doctorat : Mathématiques pures et applications — Examen : Mathématiques générales, Université Mohamed Boudiaf - M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — 02 novembre 2019 (Coefficient 1, 13h00 - 14h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Algèbre linéaire : noyau, image, formes linéaires

#linear-algebra#kernel#image#linear-forms#determinant

Soient $E, F, G$ trois espaces vectoriels, $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications linéaires. Prouver que $g \circ f = 0$ si et seulement si $\text{Im } f \subseteq \text{Ker } g$ .
Expliquer pourquoi les deux colonnes de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \end{pmatrix}$ forment une base de $\mathbb{R}^2$ si et seulement si le déterminant $\begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$ .
Soient $f_1, f_2 \in L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ définies par $f_1(x, y) = x + y$ et $f_2(x, y) = x - y$ . a. Montrer que $(f_1, f_2)$ forme une base de $L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ . b. Exprimer $g(x, y) = x$ et $h(x, y) = 2x - 6y$ dans la base $(f_1, f_2)$ .

◀الحل

1.

( $\Rightarrow$ ) $g \circ f = 0 \Rightarrow \forall x, g(f(x)) = 0 \Rightarrow f(x) \in \text{Ker } g$ , donc $\text{Im } f \subseteq \text{Ker } g$ . ( $\Leftarrow$ ) réciproque immédiate.

2.

Deux vecteurs forment une base de $\mathbb{R}^2$ ssi ils sont linéairement indépendants, ce qui équivaut à $ad - bc \neq 0$ .

3.a.

$\dim L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) = 2$ . $f_1, f_2$ sont indépendantes car $\alpha f_1 + \beta f_2 = 0$ implique $\alpha + \beta = 0$ et $\alpha - \beta = 0$ , donc $\alpha = \beta = 0$ .

3.b.

$g = \frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2$ . $h = -2f_1 + 4f_2$ .

\boxed{g = \frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2, \quad h = -2f_1 + 4f_2}

التمرين 2

Exercice 2 — Ensembles ouverts et fermés définis par une fonction continue

#topology#open-sets#closed-sets#continuous-function

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On introduit les ensembles

A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \gt 0\}, \quad B = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \geq 0\},

C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \gt f(x)\}, \quad D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq f(x)\}.

Démontrer que $A$ est ouvert et $B$ est fermé.
Démontrer que $C$ est ouvert et $D$ est fermé.
Comparer, au sens de l'inclusion, $A$ avec $\dot{B}$ et $\bar{A}$ avec $B$ . Chercher des contre-exemples pour les inclusions fausses.

◀الحل

1.

$A = f^{-1}(]0, +\infty[)$ est ouvert comme image réciproque d'un ouvert par $f$ continue. $B = f^{-1}([0, +\infty[)$ est fermé comme image réciproque d'un fermé.

2.

$C = \{(x,y) : y - f(x) \gt 0\}$ est l'image réciproque de $]0,+\infty[$ par $g(x,y) = y - f(x)$ continue, donc ouvert. De même, $D$ est fermé.

3.

$A \subseteq \dot{B}$ (intérieur de $B$ ) : pas toujours vrai. $\bar{A} \subseteq B$ : vrai car $\bar{A} = \overline{f^{-1}(]0,+\infty[)} \subseteq f^{-1}([0,+\infty[) = B$ . Contre-exemple pour $\dot{B} \subseteq A$ : $f(x) = x^2$ , alors $0 \in B$ mais $0 \notin A$ , et $0 \in \dot{B}$ .

\boxed{\bar{A} \subseteq B \text{, mais } A = \dot{B} \text{ n'est pas toujours vrai}}

التمرين 3

Exercice 3 — Approximation par différences finies d'un problème aux limites

#finite-differences#boundary-value-problem#consistency

Soit $f \in C^2([0, 1])$ , le but est de calculer une approximation $u : [0, 1] \to \mathbb{R}$ du problème suivant

(P) \begin{cases} -u''(x) + \frac{1}{x+1} u'(x) = f(x) & x \in [0, 1] \\\\ u(0) = a \\\\ u(1) = b \end{cases}

On admet que ce problème admet une et une seule solution $u \in C^4([0, 1])$ . On pose $h = \frac{1}{N+1}$ , $N \in \mathbb{N}^*$ . On note $u_i$ la valeur approchée de $u$ au point $x_i$ , pour $i = 1, \ldots, N$ .

Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire $A_h u_h = b_h$ où $A_h \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ et $b_h \in \mathbb{R}^n$ sont à déterminer.
Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant, donner une majoration de l'erreur de consistance ( $u \in C^4([0, 1])$ ).

◀الحل

1.

On approche $u''(x_i) \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2}$ et $u'(x_i) \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2h}$ . Le système est $A_h u_h = b_h$ avec $A_h$ tridiagonale dont les coefficients dépendent de $\frac{1}{x_i + 1}$ .

2.

Par Taylor, l'erreur de troncature est $O(h^2)$ (schémas centrés d'ordre 2).

\boxed{\text{Schéma consistant d'ordre } O(h^2)}