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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP · المعامل: 3

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle « Doctorat LMD », Intitulé du doctorat : Mathématiques pures et applications, Option : Analyse Numérique, EDPs et applications, Examen : Problèmes de Cauchy et aux limites pour les équations de la physique, Coefficient 3, Université Mohamed Boudiaf - M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — 02/11/2019 (15h00-17h30).

التمرين 2

Exercice 2 — Équation de transport et solutions faibles de l'équation des ondes

#transport-equation#wave-equation#weak-solutions#dalembert

Soit φ:=φ(x,t)\varphi := \varphi(x,t) une fonction de classe C2C^2, solution de l'équation de transport suivante

∂tφ(x,t)−∂xφ(x,t)=0(2)\partial_t \varphi(x,t) - \partial_x \varphi(x,t) = 0 \qquad (2)

  1. On pose h(t)=φ(y−ct,t)h(t) = \varphi(y - ct, t), pour tout y,t∈Ry, t \in \mathbb{R}. Calculer h′(t)h'(t).

  2. Déduire la forme générale de la solution φ\varphi.

  3. Considérons l'équation des ondes suivante

∂ttu(x,t)−c2∂xxu(x,t)=0,c>0(3)\partial_{tt} u(x,t) - c^2 \partial_{xx} u(x,t) = 0, \quad c \gt 0 \qquad (3)

a. Montrer que ∂ttu−c2∂xxu=(∂t−c∂x)(∂t+c∂x)u=0\partial_{tt} u - c^2 \partial_{xx} u = (\partial_t - c\partial_x)(\partial_t + c\partial_x) u = 0. b. Déduire que la solution uu de (3) satisfait ∂tu−c∂xu=φ\partial_t u - c\partial_x u = \varphi où φ\varphi est solution de (2). c. Soit gg une fonction définie sur R\mathbb{R} telle que g′(x−ct)=φ(x,t)g'(x - ct) = \varphi(x,t). Montrer que u1(x,t):=−12cg(x−ct)u_1(x,t) := -\frac{1}{2c}g(x-ct) est une solution particulière de (4). d. Déduire la forme générale de la solution de (3).

  1. On dit que u∈Lloc1(R2)u \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2) est une solution faible de (3) si
∬R2u[∂ttϕ(x,t)−c2∂xxϕ(x,t)]dx dt=0\iint_{\mathbb{R}^2} u \left[\partial_{tt}\phi(x,t) - c^2 \partial_{xx}\phi(x,t)\right] dx\,dt = 0

pour tout ϕ∈C2(R2)\phi \in C^2(\mathbb{R}^2) nulle en dehors d'un compact.

Si un∈C2(R2)u_n \in C^2(\mathbb{R}^2) est une solution de (3) et unu_n converge vers uu dans Lloc2(R2)L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2), montrer que uu est une solution faible.

◀الحل

1.

h′(t)=−c∂xφ(y−ct,t)+∂tφ(y−ct,t)h'(t) = -c\partial_x \varphi(y-ct, t) + \partial_t \varphi(y-ct, t). Par (2) avec c=1c=1 : h′(t)=0h'(t) = 0.

h′(t)=∂tφ−c∂xφ=0\boxed{h'(t) = \partial_t\varphi - c\partial_x\varphi = 0}

2.

hh est constante, donc φ(x,t)=F(x+ct)\varphi(x,t) = F(x+ct) pour une fonction FF arbitraire.

φ(x,t)=F(x+ct)\boxed{\varphi(x,t) = F(x + ct)}

3.a.

(∂t−c∂x)(∂t+c∂x)u=∂ttu+c∂txu−c∂xtu−c2∂xxu=∂ttu−c2∂xxu(\partial_t - c\partial_x)(\partial_t + c\partial_x)u = \partial_{tt}u + c\partial_{tx}u - c\partial_{xt}u - c^2\partial_{xx}u = \partial_{tt}u - c^2\partial_{xx}u.

3.b.

En posant v=(∂t+c∂x)uv = (\partial_t + c\partial_x)u, l'équation (∂t−c∂x)v=0(\partial_t - c\partial_x)v = 0 montre que v=φv = \varphi est solution du transport. Donc ∂tu+c∂xu=φ\partial_t u + c\partial_x u = \varphi et ∂tu−c∂xu=φ\partial_t u - c\partial_x u = \varphi.

3.c.

∂tu1=12g′(x−ct)\partial_t u_1 = \frac{1}{2}g'(x-ct) et c∂xu1=−12g′(x−ct)c\partial_x u_1 = -\frac{1}{2}g'(x-ct). On vérifie que ∂tu1−c∂xu1=g′(x−ct)=φ(x,t)\partial_t u_1 - c\partial_x u_1 = g'(x-ct) = \varphi(x,t).

3.d.

La solution générale est u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct) (formule de d'Alembert).

u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)\boxed{u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)}

4.

Pour chaque nn, ∬un[∂ttϕ−c2∂xxϕ]=0\iint u_n [\partial_{tt}\phi - c^2\partial_{xx}\phi] = 0 (intégration par parties). Par convergence Lloc2L^2_{\text{loc}} de un→uu_n \to u et comme ∂ttϕ−c2∂xxϕ\partial_{tt}\phi - c^2\partial_{xx}\phi est à support compact : ∬u[∂ttϕ−c2∂xxϕ]=lim⁡∬un[∂ttϕ−c2∂xxϕ]=0\iint u[\partial_{tt}\phi - c^2\partial_{xx}\phi] = \lim \iint u_n[\partial_{tt}\phi - c^2\partial_{xx}\phi] = 0.

u est une solution faible\boxed{u \text{ est une solution faible}}