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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP · المعامل: 3

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle « Doctorat LMD » — Intitulé du doctorat : Mathématiques pures et applications — Option : Analyse Numérique, EDPs et applications — Examen : Problèmes de Cauchy et aux limites pour les équations de la physique, Université Mohamed Boudiaf - M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — 02 novembre 2019 (Coefficient 3, 15h00 - 17h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Équation de la chaleur avec source et séparation des variables

#heat-equation#separation-of-variables#fourier-series#dirichlet-bc

Une barre de longueur LL, initialement à température nulle, est chauffée par une source de chaleur PP. Ses deux extrémités sont maintenues à température nulle. On cherche la solution de

{∂u∂t(x,t)−λ∂2u∂x2(x,t)=P,x∈]0,L[,  t>0u(x,0)=0,x∈]0,L[u(0,t)=u(L,t)=0,t>0(1)\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) - \lambda \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) = P, & x \in ]0, L[, \; t \gt 0 \\\\ u(x, 0) = 0, & x \in ]0, L[ \\\\ u(0, t) = u(L, t) = 0, & t \gt 0 \end{cases} \qquad (1)

où λ\lambda est une constante thermique donnée.

  1. Déterminer la température à l'équilibre, notée v(x)v(x).
  2. On pose w(x,t)=u(x,t)−v(x)w(x,t) = u(x,t) - v(x). Montrer que ww vérifie la même équation avec une condition initiale non nulle.
  3. Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation en ww.
  4. w0w_0 étant connue, calculer explicitement les coefficients du développement en série.
  5. En déduire l'expression du développement en série de uu.
◀الحل

1.

À l'équilibre : −λv′′=P-\lambda v'' = P, v(0)=v(L)=0v(0) = v(L) = 0. D'où v(x)=P2λx(L−x)v(x) = \frac{P}{2\lambda} x(L - x).

2.

wt−λwxx=0w_t - \lambda w_{xx} = 0, w(0,t)=w(L,t)=0w(0,t) = w(L,t) = 0, w(x,0)=−v(x)w(x,0) = -v(x).

3.

w(x,t)=∑n=1∞bnsin⁡(nπxL)e−λn2π2t/L2w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\lambda n^2 \pi^2 t / L^2}.

4.

bn=−2L∫0Lv(x)sin⁡(nπxL)dx=−2PλL∫0Lx(L−x)2sin⁡(nπxL)dxb_n = -\frac{2}{L} \int_0^L v(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = -\frac{2P}{\lambda L} \int_0^L \frac{x(L-x)}{2} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx.

5.

u(x,t)=v(x)+w(x,t)=P2λx(L−x)+∑bnsin⁡(nπxL)e−λn2π2t/L2u(x,t) = v(x) + w(x,t) = \frac{P}{2\lambda}x(L-x) + \sum b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\lambda n^2\pi^2 t/L^2}.

u(x,t)=P2λx(L−x)+∑n=1∞bnsin⁡(nπxL)e−λn2π2t/L2\boxed{u(x,t) = \frac{P}{2\lambda}x(L-x) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\lambda n^2\pi^2 t/L^2}}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation de transport, ondes et solutions faibles

#transport-equation#wave-equation#weak-solution#dalembert

Soit φ:=φ(x,t)\varphi := \varphi(x, t) une fonction de classe C2C^2, solution de l'équation de transport

∂tφ(x,t)−∂xφ(x,t)=0(2)\partial_t \varphi(x, t) - \partial_x \varphi(x, t) = 0 \qquad (2)
  1. On pose h(t)=φ(y−ct,t)h(t) = \varphi(y - ct, t). Calculer h′(t)h'(t).
  2. Déduire la forme générale de la solution φ\varphi.
  3. Considérons l'équation des ondes
∂ttu(x,t)−c2∂xxu(x,t)=0,c>0(3)\partial_{tt} u(x, t) - c^2 \partial_{xx} u(x, t) = 0, \quad c \gt 0 \qquad (3)

a. Montrer que ∂ttu−c2∂xxu=(∂t−c∂x)(∂t+c∂x)u=0\partial_{tt} u - c^2 \partial_{xx} u = (\partial_t - c\partial_x)(\partial_t + c\partial_x) u = 0. b. Déduire que la solution uu de (3) satisfait ∂tu−c∂xu=φ\partial_t u - c\partial_x u = \varphi. c. Montrer que u1(x,t):=−12cg(x−ct)u_1(x,t) := -\frac{1}{2c}g(x - ct) est une solution particulière. d. Déduire la forme générale de la solution de (3).

  1. On dit que u∈Lloc1(R2)u \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2) est une solution faible de (3) si ∬R2u[∂ttϕ−c2∂xxϕ] dx dt=0\iint_{\mathbb{R}^2} u [\partial_{tt}\phi - c^2 \partial_{xx}\phi] \, dx \, dt = 0 pour tout ϕ∈C2(R2)\phi \in C^2(\mathbb{R}^2) à support compact. Si un→uu_n \to u dans Lloc2L^2_{\text{loc}}, montrer que uu est une solution faible.
◀الحل

1.

h′(t)=−c∂xφ(y−ct,t)+∂tφ(y−ct,t)h'(t) = -c\partial_x \varphi(y-ct, t) + \partial_t \varphi(y-ct, t). Par (2) : h′(t)=0h'(t) = 0 (avec c=1c = 1).

2.

hh constante, donc φ(x,t)=F(x+t)\varphi(x,t) = F(x + t) pour une fonction FF quelconque.

3.a.

Développement direct de l'opérateur factorisé.

3.b.

En posant w=(∂t+c∂x)uw = (\partial_t + c\partial_x)u, on a (∂t−c∂x)w=0(\partial_t - c\partial_x)w = 0, donc w=φw = \varphi solution du transport.

3.c-d.

Solution générale : u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)u(x,t) = F(x + ct) + G(x - ct) (formule de d'Alembert).

4.

Par passage à la limite dans ∬un[∂ttϕ−c2∂xxϕ]=0\iint u_n[\partial_{tt}\phi - c^2\partial_{xx}\phi] = 0 et convergence Lloc2L^2_{\text{loc}}.

u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)\boxed{u(x,t) = F(x + ct) + G(x - ct)}