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مسابقة دكتوراه 2020 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP · المعامل: 3

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle Doctorat LMD — Intitulé du doctorat : Mathématiques pures et applications — Option Analyse Numérique, EDPs et applications — Examen : Problèmes de Cauchy et aux limites pour les équations de la physique, Université Mohamed Boudiaf - M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — Le 02/11/2019 — Coefficient 3 (15h-17h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Équation de la chaleur avec source : séparation des variables

#heat-equation#separation-of-variables#fourier-series#boundary-conditions

Une barre de longueur LL, initialement à température nulle, est chauffée par une source de chaleur PP. Ses deux extrémités sont maintenues à température nulle. On cherche u(x,t)u(x,t) solution de

{∂u∂t−λ∂2u∂x2=Ppour x∈]0,L[,  t>0u(x,0)=0pour x∈]0,L[u(0,t)=u(L,t)=0pour t>0\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = P & \text{pour } x \in ]0,L[, \; t \gt 0 \\\\ u(x,0) = 0 & \text{pour } x \in ]0,L[ \\\\ u(0,t) = u(L,t) = 0 & \text{pour } t \gt 0 \end{cases}

où λ\lambda est la constante thermique.

  1. Déterminer la température à l'équilibre v(x)v(x).
  2. On pose w(x,t)=u(x,t)−v(x)w(x,t) = u(x,t) - v(x). Montrer que ww vérifie la même équation avec une condition initiale non nulle.
  3. Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation en ww.
  4. Calculer explicitement les coefficients du développement en série.
  5. En déduire l'expression de uu.
◀الحل

1.

À l'équilibre : −λv′′=P-\lambda v'' = P, v(0)=v(L)=0v(0) = v(L) = 0. Solution : v(x)=P2λx(L−x)v(x) = \frac{P}{2\lambda}x(L-x).

2.

wt−λwxx=ut−λuxx−(−λv′′)=P−P=0w_t - \lambda w_{xx} = u_t - \lambda u_{xx} - (-\lambda v'') = P - P = 0. Conditions : w(0,t)=w(L,t)=0w(0,t) = w(L,t) = 0, w(x,0)=−v(x)=−P2λx(L−x)w(x,0) = -v(x) = -\frac{P}{2\lambda}x(L-x).

3.

w(x,t)=X(x)T(t)w(x,t) = X(x)T(t) donne T′/T=λX′′/X=−μT'/T = \lambda X''/X = -\mu. Avec les CL : Xn=sin⁡(nπx/L)X_n = \sin(n\pi x/L), μn=λn2π2/L2\mu_n = \lambda n^2\pi^2/L^2, Tn=e−μntT_n = e^{-\mu_n t}.

4.

w(x,0)=∑bnsin⁡(nπx/L)=−P2λx(L−x)w(x,0) = \sum b_n \sin(n\pi x/L) = -\frac{P}{2\lambda}x(L-x). Les coefficients : bn=2L∫0L(−P2λ)x(L−x)sin⁡(nπx/L)dxb_n = \frac{2}{L}\int_0^L (-\frac{P}{2\lambda})x(L-x)\sin(n\pi x/L) dx. Pour nn impair : bn=−4PL2λn3π3b_n = \frac{-4PL^2}{\lambda n^3\pi^3}, pour nn pair : bn=0b_n = 0.

5.

u(x,t)=P2λx(L−x)+∑n impairbne−λn2π2t/L2sin⁡(nπx/L)\boxed{u(x,t) = \frac{P}{2\lambda}x(L-x) + \sum_{n \text{ impair}} b_n e^{-\lambda n^2\pi^2 t/L^2} \sin(n\pi x/L)}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation de transport et d'ondes

#transport-equation#wave-equation#characteristics#dalembert

Soit φ:=φ(x,t)\varphi := \varphi(x,t) une fonction de classe C2C^2, solution de l'équation de transport

∂tφ(x,t)−∂xφ(x,t)=0.\partial_t \varphi(x,t) - \partial_x \varphi(x,t) = 0.
  1. On pose h(t)=φ(y−ct,t)h(t) = \varphi(y - ct, t) pour tout y,t∈Ry, t \in \mathbb{R}. Calculer h′(t)h'(t).
  2. Déduire la forme générale de la solution φ\varphi.
  3. Considérons l'équation des ondes ∂ttu−c2∂xxu=0\partial_{tt} u - c^2 \partial_{xx} u = 0, c>0c \gt 0.
◀الحل

1.

h′(t)=−c∂xφ(y−ct,t)+∂tφ(y−ct,t)h'(t) = -c\partial_x \varphi(y-ct,t) + \partial_t \varphi(y-ct,t). Par l'équation de transport (∂tφ=∂xφ\partial_t \varphi = \partial_x \varphi avec c=1c=1) :

h′(t)=(1−c)∂xφ(y−ct,t)\boxed{h'(t) = (1-c)\partial_x \varphi(y-ct,t)}

Pour c=1c = 1 : h′(t)=0h'(t) = 0, donc hh est constante.

2.

φ(y−t,t)=φ(y,0)\varphi(y-t,t) = \varphi(y,0) pour tout y,ty,t. En posant x=y−tx = y-t : φ(x,t)=φ(x+t,0)=f(x+t)\varphi(x,t) = \varphi(x+t, 0) = f(x+t) où ff est la donnée initiale.

φ(x,t)=f(x+t)\boxed{\varphi(x,t) = f(x+t)}

3.

En factorisant : (∂t−c∂x)(∂t+c∂x)u=0(\partial_t - c\partial_x)(\partial_t + c\partial_x)u = 0. La solution générale est u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct) (formule de d'Alembert).