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مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours Doctorat LMD 2022/2023 — Examen : Analyse et EDOs (4 février 2023)

التمرين 1

Laplacien en coordonnées polaires

Soit ff une fonction de R2\mathbb{R}^2 dans R\mathbb{R} admettant des dérivées partielles d'ordre 22. Soit g=(g1,g2)g=(g_1,g_2) la fonction de R+×[0,2π[\mathbb{R}_+\times[0,2\pi[ dans R2\mathbb{R}^2 définie par g(r,θ)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ).g(r,\theta)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta).

1. On pose F=f∘gF=f\circ g. Calculer ∂F∂r(r,θ)\dfrac{\partial F}{\partial r}(r,\theta) et ∂F∂θ(r,θ)\dfrac{\partial F}{\partial\theta}(r,\theta) en fonction de r,θ, ∂f∂x(g(r,θ)), ∂f∂y(g(r,θ))r,\theta,\ \frac{\partial f}{\partial x}(g(r,\theta)),\ \frac{\partial f}{\partial y}(g(r,\theta)).

2. Calculer ∂f∂x(g(r,θ)), ∂f∂y(g(r,θ))\frac{\partial f}{\partial x}(g(r,\theta)),\ \frac{\partial f}{\partial y}(g(r,\theta)) et (∂2f∂x2+∂2f∂y2)(g(r,θ))\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)(g(r,\theta)) en fonction de r,θr,\theta et des dérivées partielles de FF.

Remarque : c'est la formule classique du laplacien en polaires ; l'inversion du système de la question 1 en est la clef.

◀الحل

1. Dérivées de F=f∘gF=f\circ g

Avec x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta, la règle de la chaîne donne ∂F∂r=cos⁡θ ∂f∂x+sin⁡θ ∂f∂y,\frac{\partial F}{\partial r}=\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x}+\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}, ∂F∂θ=−rsin⁡θ ∂f∂x+rcos⁡θ ∂f∂y.\frac{\partial F}{\partial\theta}=-r\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x}+r\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}.

2. Inversion et laplacien

En résolvant ce système linéaire en fx,fyf_x,f_y : ∂f∂x=cos⁡θ ∂F∂r−sin⁡θr ∂F∂θ,∂f∂y=sin⁡θ ∂F∂r+cos⁡θr ∂F∂θ.\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\theta\,\frac{\partial F}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\,\frac{\partial F}{\partial\theta},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\sin\theta\,\frac{\partial F}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\,\frac{\partial F}{\partial\theta}. En dérivant une seconde fois et en additionnant, les termes croisés se simplifient et l'on obtient l'expression du laplacien en coordonnées polaires :  ∂2f∂x2+∂2f∂y2=∂2F∂r2+1r∂F∂r+1r2∂2F∂θ2. \boxed{\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial\theta^2}.\ }

التمرين 2

Série de fonctions $\sum x e^{-nx}/\ln n$

Pour n∈Nn\in\mathbb{N} avec n≥2n\ge2, on définit sur I=[0,+∞[I=[0,+\infty[ la fonction fn(x)=x e−nxln⁡n.f_n(x)=\frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}.

1. Montrer que ∑fn\sum f_n converge simplement sur [0,+∞[[0,+\infty[. On note SS sa somme.

2. Montrer que ∑fn\sum f_n converge normalement sur tout intervalle [a,+∞[[a,+\infty[ (avec a>0a>0), mais pas sur [0,+∞[[0,+\infty[.

3. Montrer que ∑fn\sum f_n converge uniformément sur [0,+∞[[0,+\infty[.

4. Montrer que SS est continue sur [0,+∞[[0,+\infty[ et de classe C1C^1 sur tout segment [a,b][a,b] de ]0,+∞[]0,+\infty[.

Remarque : exemple typique où la convergence uniforme sur [0,+∞[[0,+\infty[ a lieu sans convergence normale ; la régularité C1C^1 ne s'obtient que loin de 00.

◀الحل

1. Convergence simple

En x=0x=0 : fn(0)=0f_n(0)=0. Pour x>0x>0 : fn(x)=xln⁡ne−nxf_n(x)=\frac{x}{\ln n}e^{-nx} et e−nx=(e−x)ne^{-nx}=(e^{-x})^n avec e−x<1e^{-x}<1 ; la série géométrique ∑e−nx\sum e^{-nx} converge, donc ∑fn(x)\sum f_n(x) converge. La convergence est simple sur [0,+∞[[0,+\infty[.

2. Convergence normale

Sur [a,+∞[[a,+\infty[ (a>0a>0) : pour nn assez grand 1/n<a1/n<a, donc x↦xe−nxx\mapsto x e^{-nx} est décroissante sur [a,+∞[[a,+\infty[ et sup⁡x≥afn(x)=a e−naln⁡n,∑a e−naln⁡n<+∞\sup_{x\ge a}f_n(x)=\frac{a\,e^{-na}}{\ln n},\qquad \sum \frac{a\,e^{-na}}{\ln n}<+\infty (comparaison géométrique). Donc convergence normale sur [a,+∞[[a,+\infty[.

Sur [0,+∞[[0,+\infty[ : le maximum de xe−nxx e^{-nx} est atteint en x=1/nx=1/n, d'où ∥fn∥∞=fn ⁣(1n)=1e nln⁡n.\|f_n\|_\infty=f_n\!\left(\tfrac1n\right)=\frac{1}{e\,n\ln n}. Or ∑1nln⁡n\sum \frac{1}{n\ln n} diverge (série de Bertrand), donc pas de convergence normale sur [0,+∞[[0,+\infty[.

3. Convergence uniforme sur [0,+∞[[0,+\infty[

On majore le reste. Pour x≥0x\ge0 : 0≤RN(x)=∑n>Nxe−nxln⁡n≤1ln⁡(N+1)∑n>Nxe−nx=1ln⁡(N+1)⋅x e−(N+1)x1−e−x.0\le R_N(x)=\sum_{n>N}\frac{x e^{-nx}}{\ln n}\le \frac{1}{\ln(N+1)}\sum_{n>N}x e^{-nx}=\frac{1}{\ln(N+1)}\cdot\frac{x\,e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}. Comme 1−e−x≥xe−x1-e^{-x}\ge x e^{-x} (car ex−1≥xe^x-1\ge x), on a x1−e−x≤ex\dfrac{x}{1-e^{-x}}\le e^{x}, d'où 0≤RN(x)≤exe−(N+1)xln⁡(N+1)=e−Nxln⁡(N+1)≤1ln⁡(N+1)→N→∞0.0\le R_N(x)\le \frac{e^{x}e^{-(N+1)x}}{\ln(N+1)}=\frac{e^{-Nx}}{\ln(N+1)}\le \frac{1}{\ln(N+1)}\xrightarrow[N\to\infty]{}0. Le reste tend vers 00 uniformément : convergence uniforme sur [0,+∞[[0,+\infty[.

4. Régularité de SS

Chaque fnf_n est continue et la convergence est uniforme sur [0,+∞[[0,+\infty[, donc SS est continue. Sur [a,b]⊂ ]0,+∞[[a,b]\subset\,]0,+\infty[ : fn′(x)=e−nx(1−nx)ln⁡n,sup⁡[a,b]∣fn′∣≤(1+nb)e−naln⁡n,f_n'(x)=\frac{e^{-nx}(1-nx)}{\ln n},\qquad \sup_{[a,b]}|f_n'|\le \frac{(1+nb)e^{-na}}{\ln n}, terme général d'une série convergente. La série des dérivées converge normalement sur [a,b][a,b], donc SS est de classe C1C^1 sur [a,b][a,b] et S∈C([0,+∞[)∩C1(]0,+∞[).\boxed{S\in C\big([0,+\infty[\big)\cap C^1\big(]0,+\infty[\big).}

التمرين 3

Équation $xy''+y'+y=0$ et énergie associée

On considère l'équation différentielle sur R\mathbb{R} : xy′′+y′+y=0.(1)xy''+y'+y=0.\qquad(1) Soit ff une solution de (1)(1) et soit gg la fonction définie sur [1,+∞[[1,+\infty[ par g(x)=x(f′(x))2+f2(x).g(x)=x\big(f'(x)\big)^2+f^2(x).

1. Montrer que gg est décroissante.

2. Montrer que gg possède une limite ℓ\ell quand x→+∞x\to+\infty.

3. En déduire que ff est bornée au voisinage de +∞+\infty.

4. Montrer que lim⁡x→+∞f′(x)=0\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0.

5. Justifier la convergence des intégrales ∫1+∞(f′(x))2 dx,∫1+∞f′(x)f(x)x dx,∫1+∞f2(x)x dx.\int_1^{+\infty}(f'(x))^2\,dx,\qquad \int_1^{+\infty}\frac{f'(x)f(x)}{x}\,dx,\qquad \int_1^{+\infty}\frac{f^2(x)}{x}\,dx.

6. Montrer que ℓ=0\ell=0.

7. En déduire lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x).

Remarque : l'équation (1)(1) est de type Bessel (J0(2x)J_0(2\sqrt{x})) ; la fonction gg joue le rôle d'une énergie décroissante, technique standard pour majorer solutions et dérivées.

◀الحل

1. gg décroissante

g′(x)=(f′)2+2xf′f′′+2ff′.g'(x)=(f')^2+2x f'f''+2f f'. Or (1)(1) donne xf′′=−f′−fx f''=-f'-f, donc 2xf′f′′=2f′(−f′−f)=−2(f′)2−2ff′2x f'f''=2f'(-f'-f)=-2(f')^2-2ff'. Ainsi g′(x)=(f′)2−2(f′)2−2ff′+2ff′=−(f′)2≤0.g'(x)=(f')^2-2(f')^2-2ff'+2ff'=-(f')^2\le0. Donc gg est décroissante.

2. Limite de gg

Sur [1,+∞[[1,+\infty[, g(x)=x(f′)2+f2≥0g(x)=x(f')^2+f^2\ge0. Étant décroissante et minorée par 00, gg converge vers une limite ℓ≥0\ell\ge0.

3. ff bornée

f2(x)≤g(x)≤g(1)f^2(x)\le g(x)\le g(1), donc ∣f∣≤g(1)|f|\le\sqrt{g(1)} : ff est bornée au voisinage de +∞+\infty.

4. f′→0f'\to0

x(f′)2≤g(x)≤g(1)x(f')^2\le g(x)\le g(1), donc (f′)2≤g(1)/x→0(f')^2\le g(1)/x\to0, d'où lim⁡x→+∞f′(x)=0\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0.

5. Convergence des intégrales

(a) g′=−(f′)2g'=-(f')^2 donne ∫1X(f′)2 dx=g(1)−g(X)→g(1)−ℓ\int_1^X (f')^2\,dx=g(1)-g(X)\to g(1)-\ell : l'intégrale converge.

(b) f′fx=12x(f2)′\dfrac{f'f}{x}=\dfrac{1}{2x}(f^2)'. Une intégration par parties donne ∫1X(f2)′2xdx=[f22x]1X+∫1Xf22x2dx.\int_1^X\frac{(f^2)'}{2x}dx=\left[\frac{f^2}{2x}\right]_1^X+\int_1^X\frac{f^2}{2x^2}dx. Comme ff est bornée, f22x→0\frac{f^2}{2x}\to0 et ∫1+∞f2x2dx\int_1^{+\infty}\frac{f^2}{x^2}dx converge ; donc ∫1+∞f′fxdx\int_1^{+\infty}\frac{f'f}{x}dx converge.

(c) De (1)(1) : (xf′)′=xf′′+f′=−f(xf')'=xf''+f'=-f, donc f=−(xf′)′f=-(xf')'. Avec u=f/xu=f/x et v=xf′v=xf', une intégration par parties donne ∫1Xf2xdx=−[ff′]1X+∫1X(f′)2 dx−∫1Xff′xdx.\int_1^X\frac{f^2}{x}dx=-\big[ff'\big]_1^X+\int_1^X (f')^2\,dx-\int_1^X\frac{ff'}{x}dx. Comme ff′→0ff'\to0 (car ff bornée et f′→0f'\to0) et les deux intégrales du membre de droite convergent, ∫1+∞f2xdx\int_1^{+\infty}\frac{f^2}{x}dx converge.

6. ℓ=0\ell=0

Pour x≥1x\ge1 : g(x)x=(f′)2+f2x\dfrac{g(x)}{x}=(f')^2+\dfrac{f^2}{x}. D'après la question 5, ∫1+∞g(x)xdx\int_1^{+\infty}\frac{g(x)}{x}dx converge. Mais g(x)→ℓg(x)\to\ell ; si ℓ>0\ell>0 alors g(x)x∼ℓx\frac{g(x)}{x}\sim\frac{\ell}{x} et ∫1+∞dxx\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x} diverge — contradiction. Donc ℓ=0.\boxed{\ell=0.}

7. Limite de ff

0≤f2≤g→00\le f^2\le g\to0, donc lim⁡x→+∞f(x)=0.\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.}