مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

1. Principe du maximum

Le noyau de la chaleur $K(x,y,t)=\dfrac1{\sqrt{4\pi k t}}e^{-(x-y)^2/4kt}$ est strictement positif et de masse $1$ : $\int_{\mathbb{R}}K(x,y,t)\,dy=1$ (changement $u=(y-x)/\sqrt{4kt}$ et l'indication). Ainsi $u(x,t)$ est une moyenne pondérée de $f$ : si $0<f<M$, alors $0<u(x,t)<M$.

2. Estimation exponentielle

Si $|f(x)|<A e^{ax}$ : $|u(x,t)|\le\frac{A}{\sqrt{4\pi kt}}\int_{\mathbb{R}}e^{ay}e^{-(x-y)^2/4kt}dy.$ Avec $z=y-x$ : $ay-\dfrac{(x-y)^2}{4kt}=ax+az-\dfrac{z^2}{4kt}$, et $\int_{\mathbb{R}}e^{az-z^2/4kt}dz=\sqrt{4\pi kt}\,e^{a^2kt}$. Donc $|u(x,t)|\le A\,e^{ax}e^{a^2 kt}.$

3. Cas $f(x)=e^{-x}$

Ici $a=-1$, $A=1$, et le calcul précédent est une égalité : $u(x,t)=e^{-x}e^{kt}=e^{kt-x}.$ Vérification : $u_t=k\,u$, $u_{xx}=u$, donc $u_t=k\,u_{xx}$, et $u(x,0)=e^{-x}$.

4. Conséquence

Avec $f(x)=e^{-x}$ (non bornée), $|u(x,t)|=e^{-x}e^{kt}=A e^{ax}e^{a^2kt}$ ($a=-1$) : l'inégalité de la question 2 est optimale (cas d'égalité). Cela illustre que sans hypothèse de bornitude sur $f$, le principe du maximum tombe en défaut : la solution peut croître exponentiellement en temps.

1. Condition de compatibilité

Par la formule de Green et $\partial u/\partial n=0$ : $\int_\Omega f\,dx=\int_\Omega(-\Delta u)\,dx=-\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial n}\,d\sigma=0.$

2. $V$ est un espace de Hilbert

L'application $L:v\mapsto\int_\Omega v\,dx$ est linéaire continue sur $H^1(\Omega)$ ($|L(v)|\le|\Omega|^{1/2}\|v\|_{L^2}\le C\|v\|_{H^1}$). Donc $V=\ker L$ est un sous-espace fermé de $H^1(\Omega)$ ; fermé dans un espace de Hilbert, il est lui-même de Hilbert.

3. Inégalité de Poincaré–Wirtinger

Par l'absurde : soit $v_n\in V$ avec $\|v_n\|_{H^1}=1$ et $\|\nabla v_n\|_{L^2}\to0$. $(v_n)$ bornée dans $H^1$ ; par Rellich, quitte à extraire, $v_n\to v$ dans $L^2$. Comme $\nabla v_n\to0$, $(v_n)$ est de Cauchy dans $H^1$, donc $v_n\to v$ dans $H^1$ avec $\nabla v=0$ ; $\Omega$ étant connexe, $v$ est constante. Mais $\int_\Omega v_n=0\Rightarrow\int_\Omega v=0\Rightarrow v=0$, ce qui contredit $\|v\|_{H^1}=1$. D'où l'existence de $C>0$.

4. Formulation variationnelle

En multipliant $-\Delta u=f$ par $v\in V$ et en intégrant par parties (avec $\partial u/\partial n=0$) : $a(u,v):=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_\Omega f\,v\,dx=:\ell(v),\qquad\forall v\in V.$

5. Existence et unicité (Lax–Milgram)

Sur le Hilbert $V$ : $a$ est bilinéaire continue ($|a(u,v)|\le\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$) et coercive grâce à la question 3 : $a(v,v)=\|\nabla v\|_{L^2}^2\ge\frac1{C^2}\|v\|_{H^1}^2$ ; $\ell$ est linéaire continue ($|\ell(v)|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}$). Le théorème de Lax–Milgram assure l'existence et l'unicité de $u\in V$ solution de $(FV)$.

2. Système linéaire

$Au=b$ avec la matrice tridiagonale $A=\frac1{h^2}\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&\ddots&\ddots&\ddots\\&&-1&2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{N\times N}.$

3. Existence et unicité

$A$ est symétrique. Pour $v\in\mathbb{R}^N$ (posant $v_0=v_{N+1}=0$), $v^TAv=\frac1{h^2}\sum_{i=1}^{N+1}(v_i-v_{i-1})^2\ge0,$ avec égalité seulement si tous les $v_i-v_{i-1}=0$, i.e. $v=0$. Donc $A$ est symétrique définie positive, donc inversible : le système a une solution unique. (Valeurs propres $\lambda_k=\frac4{h^2}\sin^2\frac{k\pi h}2>0$.)

4. Erreur de consistance

(a) $R$ est l'erreur de consistance (ou de troncature) du schéma.

(b) Pour $u\in\mathcal{C}^4$, la formule de Taylor donne $u(x_{i\pm1})=u(x_i)\pm h u'(x_i)+\tfrac{h^2}2u''(x_i)\pm\tfrac{h^3}6u'''(x_i)+\tfrac{h^4}{24}u^{(4)}(\xi_i^\pm),$ donc $\frac{2u(x_i)-u(x_{i-1})-u(x_{i+1})}{h^2}=-u''(x_i)-\frac{h^2}{12}u^{(4)}(\eta_i).$ Comme $f(x_i)=-u''(x_i)$, on obtient $R_i=-\dfrac{h^2}{12}u^{(4)}(\eta_i)$, d'où $\|R\|_\infty\le\frac{h^2}{12}\sup_{[0,1]}|u^{(4)}|.$ Le schéma est consistant d'ordre 2.

1. Schéma aux différences finies

Aux points intérieurs : $\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{k^2}=0.$ Dirichlet : $u_{0,j}=-y_j^2$, $u_{i,0}=x_i^2$, $u_{i,M}=x_i^2-1$. Robin en $x=1$ (décentré à gauche) : $\displaystyle u_{N,j}+\frac{u_{N,j}-u_{N-1,j}}{h}=3-y_j.$

2. Cas $M=N=2$

$h=k=\tfrac12$ ; points $x_i,y_j\in\{0,\tfrac12,1\}$. Valeurs de bord utiles : $u_{0,1}=-\tfrac14,\quad u_{1,0}=\tfrac14,\quad u_{1,2}=-\tfrac34,\quad u_{2,0}=1,\quad u_{2,2}=0.$ Inconnues : $u_{1,1}$ (intérieur) et $u_{2,1}$ (bord de Robin).

Équation intérieure en $(1,1)$ (multipliée par $h^2=\tfrac14$) : $\big(u_{2,1}-2u_{1,1}+u_{0,1}\big)+\big(u_{1,2}-2u_{1,1}+u_{1,0}\big)=0\ \Longrightarrow\ u_{2,1}-4u_{1,1}=\tfrac34.$

Équation de Robin en $(2,1)$ ($\tfrac1h=2$, $y_1=\tfrac12$) : $u_{2,1}+2\big(u_{2,1}-u_{1,1}\big)=3-\tfrac12\ \Longrightarrow\ 3u_{2,1}-2u_{1,1}=\tfrac52.$

Forme matricielle : $\begin{pmatrix}-4&1\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{1,1}\\u_{2,1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac34\\\tfrac52\end{pmatrix}.$

Résolution : $u_{2,1}=4u_{1,1}+\tfrac34$ puis $10u_{1,1}=\tfrac14$, d'où $\boxed{u_{1,1}=\frac1{40},\qquad u_{2,1}=\frac{17}{20}.}$

(La donnée de Robin est prise égale à $3-y$ conformément à l'énoncé.)