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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

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مساهمة مستخدم — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila 2025

التمرين 1

تمرين 1

Soit Ω\Omega un ouvert borné de R2\mathbb{R}^{2} de frontière régulière. On considère le problème variationnel

(P)∫Ω∇u⋅∇v dx dy+∫Ω∇u⋅F v dx dy=∫Ωf⋅∇v dx dy,∀ v∈H01(Ω),(P)\qquad \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\,dx\,dy + \int_{\Omega}\nabla u\cdot F\,v\,dx\,dy = \int_{\Omega}f\cdot\nabla v\,dx\,dy, \qquad \forall\,v\in H_0^1(\Omega),

avec

f=(f1,f2)∈(L2(Ω))2,F=(F1,F2)∈(L∞(Ω))2,f=(f_1,f_2)\in \left(L^2(\Omega)\right)^2, \qquad F=(F_1,F_2)\in \left(L^\infty(\Omega)\right)^2,

telle que

div⁡(F)=0.\operatorname{div}(F)=0.
  1. Montrer que

a.

∇u⋅F=div⁡(uF).\nabla u\cdot F=\operatorname{div}(uF).

b.

∫Ωu(F⋅∇u) dx dy=0,∀ u∈H01(Ω).\int_{\Omega}u(F\cdot\nabla u)\,dx\,dy=0, \qquad \forall\,u\in H_0^1(\Omega).

c.

(div⁡(f),v)=−∫Ωf⋅∇v dx dy,∀ v∈D(Ω).(\operatorname{div}(f),v) = -\int_{\Omega}f\cdot\nabla v\,dx\,dy, \qquad \forall\,v\in\mathcal{D}(\Omega).
  1. Montrer que le problème (P)(P) admet une solution unique
w∈H01(Ω).w\in H_0^1(\Omega).
  1. On suppose que
w∈H2(Ω)etdiv⁡(f)∈L2(Ω).w\in H^2(\Omega) \quad\text{et}\quad \operatorname{div}(f)\in L^2(\Omega).

Déterminer un problème aux limites satisfait par ww.

التمرين 2

تمرين 2

Rappelons le résultat suivant.

Soient (E,∥⋅∥)(E,\|\cdot\|) un espace de Banach réflexif, J:E→RJ:E\rightarrow\mathbb{R} une fonctionnelle différentiable, coercive (c.-à-d.

lim⁡∥u∥→+∞J(u)=+∞\lim_{\|u\|\to+\infty}J(u)=+\infty

) et satisfaisant

⟨J′(u)−J′(v),u−v⟩>0,∀ u,v∈E,  u≠v.(1)\langle J'(u)-J'(v),u-v\rangle>0, \qquad \forall\,u,v\in E,\;u\neq v. \tag{1}

Alors JJ admet un point critique unique u∈Eu\in E (c.-à-d.

⟨J′(u),v⟩=0,∀ v∈E.\langle J'(u),v\rangle=0, \qquad \forall\,v\in E.

)

Soit Ω\Omega un ouvert borné et régulier de RN\mathbb{R}^{N} (N≥3)(N\ge3) contenant l'origine (0∈Ω)(0\in\Omega). Soit f:R→Rf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} une fonction continue satisfaisant les conditions suivantes :

(H1)(f(t)−f(s))(t−s)≤0,∀ t,s∈R,(H_1)\qquad (f(t)-f(s))(t-s)\le0, \qquad \forall\,t,s\in\mathbb{R}, (H2)∃ a,b>0,  ∃ σ∈[1,2[:∣F(t)∣≤a∣t∣+b∣t∣σ,∀ t∈R,(H_2)\qquad \exists\,a,b>0,\; \exists\,\sigma\in[1,2[: \quad |F(t)|\le a|t|+b|t|^{\sigma}, \qquad \forall\,t\in\mathbb{R},

où

F(t)=∫0tf(s) ds.F(t)=\int_0^t f(s)\,ds.

On considère le problème suivant

(P){−Δu=μu∣x∣2+f(u),dans Ω,u=0,sur ∂Ω,μ>0.(P)\qquad \begin{cases} -\Delta u=\mu\dfrac{u}{|x|^2}+f(u), & \text{dans }\Omega,\\ u=0, & \text{sur }\partial\Omega, \end{cases} \qquad \mu>0.

On rappelle l'inégalité de Hardy

∫Ω∣u(x)∣2∣x∣2 dx≤1H∫Ω∣∇u∣2 dx,∀ u∈H01(Ω),\int_{\Omega}\frac{|u(x)|^2}{|x|^2}\,dx \le \frac1H \int_{\Omega}|\nabla u|^2\,dx, \qquad \forall\,u\in H_0^1(\Omega),

où

H=(N−22)2.H=\left(\frac{N-2}{2}\right)^2.