مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mohamed Boudiaf

التمرين 1

Exercice 1 (M'sila 2025, EDP+AF) — Théorème de représentation de Riesz et projection sur un convexe fermé

#théorème de Riesz#projection sur convexe fermé#espace de Hilbert#formes linéaires continues

Soit $H$ un espace de Hilbert réel et $C\subset H$ un convexe fermé non vide.

Rappeler et démontrer le théorème de projection sur un convexe fermé : pour tout $x\in H$ , il existe un unique $p_C(x)\in C$ tel que $\|x-p_C(x)\| = \inf_{y\in C}\|x-y\|$ , caractérisé par $\langle x-p_C(x), y-p_C(x)\rangle\le0$ pour tout $y\in C$ .
Énoncer le théorème de représentation de Riesz. Montrer, en utilisant la projection sur un sous-espace fermé (cas particulier de convexe fermé), que toute forme linéaire continue $\varphi$ sur $H$ s'écrit $\varphi(x)=\langle x,a\rangle$ pour un unique $a\in H$ .

Le théorème de Riesz est fondamental : il identifie $H$ à son dual topologique $H^*$ de manière isométrique. C'est la projection orthogonale sur $\ker\varphi$ (cas particulier de convexe fermé = sous-espace fermé) qui en est la clé de démonstration.

◀الحل

Existence : soit $d=\inf_{y\in C}\|x-y\|$ et $(y_n)\subset C$ telle que $\|x-y_n\|\to d$ . Par l'identité du parallélogramme : $\|y_n-y_m\|^2 = 2\|x-y_n\|^2+2\|x-y_m\|^2-4\Big\|x-\dfrac{y_n+y_m}{2}\Big\|^2.$

Comme $C$ convexe, $\dfrac{y_n+y_m}{2}\in C$ , donc $\big\|x-\frac{y_n+y_m}2\big\|\ge d$ . D'où $\|y_n-y_m\|^2\le 2\|x-y_n\|^2+2\|x-y_m\|^2-4d^2\to 0$ . $(y_n)$ est de Cauchy, converge vers $p\in C$ ( $C$ fermé), avec $\|x-p\|=d$ .

Unicité : si $p,p'$ deux minimiseurs, même argument avec $y_n=p, y_m=p'$ donne $\|p-p'\|=0$ .

Caractérisation : pour $y\in C$ , $t\in[0,1]$ , $p+t(y-p)\in C$ (convexité), donc $\|x-p-t(y-p)\|^2\ge\|x-p\|^2$ . Développant : $-2t\langle x-p,y-p\rangle+t^2\|y-p\|^2\ge0$ . Divisant par $t>0$ et $t\to0^+$ : $\langle x-p,y-p\rangle\le0$ .

Réciproquement, si cette inégalité tient pour tout $y\in C$ : $\|x-y\|^2 = \|x-p\|^2+2\langle x-p,p-y\rangle+\|p-y\|^2 \ge \|x-p\|^2$ (car $\langle x-p,p-y\rangle\ge0$ par hypothèse avec signe inversé), donc $p$ minimise.

Théorème de Riesz : pour toute forme linéaire continue $\varphi\in H^*$ , il existe un unique $a\in H$ tel que $\varphi(x)=\langle x,a\rangle$ pour tout $x$ , et $\|\varphi\|_{H^*}=\|a\|_H$ .

Démonstration : Si $\varphi=0$ , prendre $a=0$ . Sinon, $N=\ker\varphi$ est un sous-espace fermé propre (car $\varphi$ continue). Par projection sur le convexe fermé $N$ , $H=N\oplus N^\perp$ et $N^\perp\ne\{0\}$ (sinon $N=H$ ). Soit $z\in N^\perp$ , $z\ne0$ . Pour $x\in H$ : $\varphi(x)z-\varphi(z)x \in N$ (vérification : $\varphi(\varphi(x)z-\varphi(z)x)=\varphi(x)\varphi(z)-\varphi(z)\varphi(x)=0$ ). Donc $\langle \varphi(x)z-\varphi(z)x,z\rangle=0$ (car $z\in N^\perp$ et le vecteur est dans $N$ ), soit $\varphi(x)\|z\|^2=\varphi(z)\langle x,z\rangle$ , d'où $\varphi(x)=\Big\langle x,\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}z\Big\rangle$ . Poser $a=\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}z$ .

Unicité : si $\langle x,a\rangle=\langle x,a'\rangle$ pour tout $x$ , prendre $x=a-a'$ donne $\|a-a'\|^2=0$ .

التمرين 2

Exercice 2 (M'sila 2025, EDP+AF) — Opérateurs $T(f)(x)=f(|x|)$ et $T(f)(t)=f(L-t)$ : continuité et isométrie

#opérateur linéaire borné#isométrie#espaces $L^p$

Soit $T:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$ défini par $T(f)(x)=f(|x|)$ . Montrer que $T$ n'est pas linéaire bien défini en général (discuter), ou si l'on restreint le domaine, étudier ses propriétés. [Interprétation : on considère plutôt $T:L^2(0,\infty)\to L^2(\mathbb{R})$ , $T(f)(x)=f(|x|)$ .]
Montrer que $T$ ainsi défini est linéaire, continu, et calculer $\|T\|$ .
Soit $L>0$ et $S:L^2(0,L)\to L^2(0,L)$ , $S(f)(t)=f(L-t)$ . Montrer que $S$ est une isométrie involutive.

$T$ est une dilatation isométrique à un facteur $\sqrt2$ près (reflet de la symétrisation) ; $S$ est l'opérateur de retournement temporel, exemple classique de symétrie orthogonale sur $L^2$ .

◀الحل

1)-2) Considérons $T:L^2(0,\infty)\to L^2(\mathbb{R})$ , $Tf(x)=f(|x|)$ . Linéarité : évident, $T(\lambda f+\mu g)(x) = \lambda f(|x|)+\mu g(|x|)=\lambda Tf(x)+\mu Tg(x)$ .

Norme : $\|Tf\|_{L^2(\mathbb{R})}^2 = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(|x|)^2dx = 2\int_0^\infty f(x)^2dx = 2\|f\|_{L^2(0,\infty)}^2$ (par symétrie $x\mapsto-x$ et $|{-x}|=x$ ).

Donc $\|Tf\|=\sqrt2\|f\|$ , $T$ est continu avec $\|T\|=\sqrt2$ (égalité atteinte pour tout $f$ , l'opérateur multiplie exactement la norme par $\sqrt2$ ).

$S(f)(t)=f(L-t)$ . Linéaire : évident. Isométrie : $\|Sf\|^2 = \displaystyle\int_0^L f(L-t)^2dt \overset{u=L-t}{=} \int_0^L f(u)^2du = \|f\|^2$ . Donc $\|Sf\|=\|f\|$ , isométrie.

Involutive : $S^2(f)(t) = S(Sf)(t) = (Sf)(L-t) = f(L-(L-t)) = f(t)$ . Donc $S^2=\mathrm{Id}$ , $S$ est une involution.

De plus $S$ est auto-adjointe : $\langle Sf,g\rangle=\int_0^L f(L-t)g(t)dt \overset{u=L-t}{=}\int_0^L f(u)g(L-u)du = \langle f,Sg\rangle$ . Comme $S$ isométrie et auto-adjointe avec $S^2=I$ , $S$ est une symétrie orthogonale, ses valeurs propres sont $\pm1$ .