مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi - Bordj Bou Arréridj — الموضوع 01

Partie A — Champ de vecteurs

Posons $X(t)=\tfrac13 y_0^2 e^{2t}+(x_0-\tfrac13y_0^2-1)e^{-t}+1$ et $Y(t)=y_0e^t$.

Composante $y$ : $\dot Y=y_0e^t=Y$, donc $\dot y=y$.

Composante $x$ : $\dot X=\tfrac23 y_0^2e^{2t}-(x_0-\tfrac13y_0^2-1)e^{-t}$. Or $y_0^2e^{2t}=Y^2=y^2$ et $(x_0-\tfrac13y_0^2-1)e^{-t}=X-\tfrac13y_0^2e^{2t}-1=x-\tfrac13y^2-1$. D'où $\dot X=\tfrac23y^2-\big(x-\tfrac13y^2-1\big)=y^2-x+1.$ Le champ de vecteurs est donc $\boxed{\;\dot x=1-x+y^2,\qquad \dot y=y.\;}$

Partie B

1. Réduction. Comme $4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2=u^2$, on a $\dot x=u^2-x+1$ et $\dot y=-2u^2+4x+y-2$. Alors $\dot u=2\dot x+\dot y=2(u^2-x+1)+(-2u^2+4x+y-2)=2x+y=u.$ Le système devient $\dot x=1-x+u^2,\ \dot u=u$ (identique à celui de la partie A, avec $u$ au lieu de $y$).

2. Flot. $u=u_0e^{t}$ avec $u_0=2x_0+y_0$, et comme en partie A $x=\tfrac13u_0^2e^{2t}+(x_0-\tfrac13u_0^2-1)e^{-t}+1,\qquad y=u-2x.$

3. Équilibres et variétés invariantes. $\dot u=0\Rightarrow u=0$, puis $\dot x=1-x=0\Rightarrow x=1$ : unique équilibre $(x,u)=(1,0)$, soit $(x,y)=(1,-2)$. La jacobienne en $(1,0)$ est $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$, de valeurs propres $-1$ et $1$ : c'est un point selle.

• Variété stable : la droite $u=0$, c'est-à-dire $2x+y=0$ (on y a $\dot x=1-x$, donc convergence vers $x=1$).
• Variété instable : la parabole $x=1+\tfrac13u^2$, c'est-à-dire $x=1+\tfrac13(2x+y)^2$ (invariance : si $x=1+u^2/3$, alors $\dot x=\tfrac23u\dot u=\tfrac23u^2$ et $1-x+u^2=\tfrac23u^2$).

4. Portrait de phase. Point selle en $(1,-2)$ ; séparatrice stable $2x+y=0$, séparatrice instable la parabole $x=1+\tfrac13(2x+y)^2$. Les autres trajectoires suivent des branches d'allure hyperbolique entre ces deux séparatrices.

On remarque d'abord que $x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6=(x^2+y^2)^3$. En posant $r^2=x^2+y^2$, le facteur commun s'écrit $F(r)=(2-ar^6)(r^2-6)$.

1. Coordonnées polaires

$r\dot r=x\dot x+y\dot y=(x^2+y^2)F(r)=r^2F(r),\qquad r^2\dot\theta=x\dot y-y\dot x=-(x^2+y^2)=-r^2.$ D'où $\dot r=r\,(2-ar^6)(r^2-6),\qquad \dot\theta=-1.$

2. Unique équilibre

Comme $\dot\theta=-1\neq0$, aucun point de rayon $r>0$ ne peut être fixe. Le seul équilibre est l'origine $r=0$.

3. Cycles limites et stabilité

Pour $r>0$, $\dot r=0\iff 2-ar^6=0$ ou $r^2-6=0$, soit $r_1=\Big(\tfrac2a\Big)^{1/6}\qquad\text{et}\qquad r_2=\sqrt6.$ Comme $a\ge1$, $r_1\le 2^{1/6}<\sqrt6=r_2$. Le signe de $\dot r$ est :

• $0<r<r_1$ : $\dot r<0$ ;
• $r_1<r<r_2$ : $\dot r>0$ ;
• $r>r_2$ : $\dot r<0$.

Donc le cercle $r=r_1$ est un cycle limite instable, le cercle $r=r_2=\sqrt6$ est un cycle limite stable, et l'origine est un foyer stable. Le portrait de phase : rotation (sens $\theta$ décroissant), spirale vers l'origine pour $r<r_1$, spirale de $r_1$ vers $r_2$ dans la couronne intermédiaire, et spirale de l'extérieur vers $r_2$.

4. Théorème de Poincaré–Bendixson

Choisissons $\alpha,\beta$ avec $r_1<\alpha<\sqrt6<\beta$. Sur le cercle $r=\alpha$ on a $\dot r>0$ (le flot entre dans la couronne) et sur $r=\beta$ on a $\dot r<0$ (le flot entre aussi). La couronne $K=\{\alpha\le r\le\beta\}$ est donc positivement invariante et ne contient aucun équilibre. Par le théorème de Poincaré–Bendixson, $K$ contient une orbite périodique : c'est le cycle $r=\sqrt6$.

5. Ensembles limites $\alpha$ et $\omega$

Selon le rayon initial $r_0$ :

• $r_0=0$ : $\alpha=\omega=\{0\}$.
• $0<r_0<r_1$ : $\omega=\{0\}$ et $\alpha=\{r=r_1\}$.
• $r_0=r_1$ : $\alpha=\omega=\{r=r_1\}$.
• $r_1<r_0<r_2$ : $\omega=\{r=\sqrt6\}$ et $\alpha=\{r=r_1\}$.
• $r_0=r_2$ : $\alpha=\omega=\{r=\sqrt6\}$.
• $r_0>r_2$ : $\omega=\{r=\sqrt6\}$ et $\alpha=\varnothing$ (la trajectoire n'est pas bornée lorsque $t\to-\infty$).