مسابقة دكتوراه 2014 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique (3ème version), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 16 octobre 2014, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimateur BLUE de la moyenne dans la classe des estimateurs linéaires sans biais

#BLUE-estimator#linear-estimator#unbiased-estimator#variance-minimization

Soit $X_1, ..., X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi et de carré intégrable. Trouver l'estimateur de la moyenne, $\theta = E[X_1]$ , qui soit de variance minimale dans la classe des estimateurs linéaires,

$\theta_a = \sum_{k=1}^n a_k X_k$

et sans biais.

◀الحل

La contrainte sans biais donne $\sum a_k = 1$ . On minimise $\text{Var}(\theta_a) = \sigma^2 \sum a_k^2$ sous la contrainte $\sum a_k = 1$ .

Par l'inégalité de Cauchy–Schwarz (ou Lagrange) : $\sum a_k^2 \geq (\sum a_k)^2/n = 1/n$ , avec égalité pour $a_k = 1/n$ pour tout $k$ .

Donc l'estimateur BLUE est :

$\boxed{\theta_a = \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k}$

التمرين 2

Exercice 2 — Simulation d'intervalles de confiance pour une loi normale

#confidence-interval#normal-distribution#simulation#coverage-probability

On simule à l'ordinateur 1000 échantillons de taille 100 à partir de la loi $N(5, 1)$ . Pour chaque échantillon on calcule l'intervalle $I = [\bar{Y} - 0.1, \bar{Y} + 0.1]$ , où $\bar{Y}$ est la moyenne de l'échantillon. Approximativement, combien d'intervalles contiennent la valeur 5 ? Justifier votre réponse.

◀الحل

Pour un échantillon de taille $n = 100$ de $\mathcal{N}(5, 1)$ , $\bar{Y} \sim \mathcal{N}(5, 1/100)$ , d'écart-type $1/10$ .

$P(5 \in I) = P(|\bar{Y} - 5| \leq 0.1) = P(|Z| \leq 1) \approx 0.6827$ où $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ .

Sur 1000 simulations, approximativement $1000 \times 0.6827 \approx \boxed{683}$ intervalles contiennent la valeur 5.

التمرين 3

Exercice 3 — Loi de Pareto : estimateur des moments, MLE et reparamétrisation

#pareto-distribution#maximum-likelihood#reparametrization#method-of-moments

Soit $X_1, ..., X_n$ une suite de variables aléatoires provenant d'une loi de Pareto avec densité

$f_\alpha(x) = \begin{cases} \alpha x_0^\alpha x^{-(\alpha+1)} & x \gt x_0 \\\\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$

avec $x_0 \gt 0$ , $\alpha \gt 1$ .

Calculer l'estimateur des moments $\widehat{\alpha}_M$ de $\alpha$ .
Donner l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\alpha}_{MV}$ de $\alpha$ .
On décide de changer de paramétrisation en prenant $\alpha = 1/\eta$ . La densité s'écrit donc $f_\eta(x) = \begin{cases} \frac{1}{\eta} x_0^{1/\eta} x^{-(1/\eta+1)} & x \gt x_0 \\\\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$ avec $x_0 \gt 0$ , $\eta \lt 1$ . Calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\eta}_{MV}$ .
Quelle est la relation entre $\widehat{\alpha}_{MV}$ et $\widehat{\eta}_{MV}$ ?

◀الحل

1.

$E[X] = \alpha x_0/(\alpha-1)$ . L'estimateur des moments donne $\bar{X} = \widehat{\alpha}_M x_0/(\widehat{\alpha}_M - 1)$ , d'où : $\widehat{\alpha}_M = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - x_0}$

2.

La log-vraisemblance : $\ell(\alpha) = n\log\alpha + n\alpha\log x_0 - (\alpha+1)\sum\log X_i$ . En annulant : $\boxed{\widehat{\alpha}_{MV} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \log(X_i/x_0)}}$

3.

Par invariance du MLE : $\widehat{\eta}_{MV} = 1/\widehat{\alpha}_{MV}$ . $\boxed{\widehat{\eta}_{MV} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(X_i/x_0)}$

4.

$\widehat{\eta}_{MV} = 1/\widehat{\alpha}_{MV}$ (relation de réciproque).

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