مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

Soit $N:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ définie par

$$N(x,y)=\sup_{t\in\mathbb{R}}\frac{|x+ty|}{1+t^2}.$$

a. Vérifier que $N$ est bien définie. b. $N$ est-elle une norme ?

Soit la suite réelle

$$u_n=2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)+(-1)^n\sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

et soit

$$U=\{u_n\in\mathbb{R}:n\in\mathbb{N}\}.$$

1. Déterminer les valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$.
2. Déterminer l'adhérence de l'ensemble $U$.

Soit $E=(0,+\infty)$. Pour $x,y\in E$, on pose

$$\delta(x,y)=|\log x-\log y|.$$

a. Vérifier que $\delta$ est une distance sur $E$.

b. Soit $d$ la distance usuelle sur $E$. Montrer que $d$ et $\delta$ sont topologiquement équivalentes.

c. Montrer que $(E,d)$ n'est pas complet.

d. La suite $\left(\frac1n\right)_{n\ge1}$ est-elle convergente dans $(E,\delta)$ ? Est-elle de Cauchy dans $(E,\delta)$ ?

e. Montrer que $(E,\delta)$ est complet.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel.

1. Calculer $\|u+\lambda v\|^2$ pour tous $u,v\in E$ et $\lambda\in\mathbb{R}$.
2. Montrer que si

$$\|u+\lambda v\|\ge\|u\|\qquad\text{pour tout }\lambda\in\mathbb{R},$$

alors $u$ et $v$ sont orthogonaux.