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مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation 3ème Cycle LMD, Épreuve de Statistique Inférentielle, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 21 octobre 2017 (version A : loi Beta).

التمرين 1

Exercice 1 — Estimateur par la méthode des moments et information de Fisher

#estimation#method-of-moments#fisher-information#cramer-rao

Soit (X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) un échantillon d'une variable aléatoire XX de densité de probabilité :

f(x)={θ(θ+1)xθ−1(1−x)si 0<x<10sinonf(x) = \begin{cases} \theta(\theta+1)x^{\theta-1}(1-x) & \text{si } 0 \lt x \lt 1 \\\\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

  1. (3 pts) Calculer l'estimateur θ^\hat{\theta} de θ\theta obtenu par la méthode des moments.
  2. (2 pts) Calculer l'information de Fisher. Déduire la borne de Cramér-Rao.
  3. (2 pts) Sachant que Var(θ^)=θ(θ+2)22n(θ+3)\text{Var}(\hat{\theta}) = \dfrac{\theta(\theta+2)^2}{2n(\theta+3)}, montrer que θ^\hat{\theta} n'est pas efficace.
◀الحل

1. Méthode des moments

E[X]=∫01x θ(θ+1)xθ−1(1−x) dx=θ(θ+1)(1θ+1−1θ+2)=θθ+2E[X] = \int_0^1 x\,\theta(\theta+1)x^{\theta-1}(1-x)\,dx = \theta(\theta+1)\left(\frac{1}{\theta+1}-\frac{1}{\theta+2}\right) = \frac{\theta}{\theta+2}

En posant E[X]=XˉE[X] = \bar{X} :

θ^=2Xˉ1−Xˉ\boxed{\hat{\theta} = \frac{2\bar{X}}{1-\bar{X}}}

2. Information de Fisher

ℓ(x;θ)=log⁡θ+log⁡(θ+1)+(θ−1)log⁡x+log⁡(1−x)\ell(x;\theta)=\log\theta+\log(\theta+1)+(\theta-1)\log x+\log(1-x)

∂2ℓ∂θ2=−1θ2−1(θ+1)2  ⟹  I(θ)=1θ2+1(θ+1)2\frac{\partial^2\ell}{\partial\theta^2} = -\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{(\theta+1)^2} \implies I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}+\frac{1}{(\theta+1)^2}

Borne CR : 1nI(θ)=θ2(θ+1)2n[(θ+1)2+θ2]\dfrac{1}{nI(\theta)} = \dfrac{\theta^2(\theta+1)^2}{n[(\theta+1)^2+\theta^2]}

3. Non-efficacité

On compare Var(θ^)=θ(θ+2)22n(θ+3)\text{Var}(\hat{\theta}) = \dfrac{\theta(\theta+2)^2}{2n(\theta+3)} avec 1nI(θ)\dfrac{1}{nI(\theta)} : les deux expressions sont distinctes (vérifiable pour θ=1\theta=1), donc θ^\hat{\theta} n'atteint pas la borne CR et n'est pas efficace.

التمرين 2

Exercice 2 — Estimateurs de la variance et comparaison

#estimation#unbiased-estimator#sample-variance#sufficient-statistic

Soit (X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de loi parente d'espérance μ\mu et de variance σ2\sigma^2 inconnues. On considère :

Xˉ=1n∑i=1nXi,S2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2,S′2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2, \quad S'^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2

On donne E(S2)=n−1nσ2E(S^2)=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2 et Var(S2)=n−1n3((n−1)μ4−(n−3)σ4)\text{Var}(S^2)=\dfrac{n-1}{n^3}\bigl((n-1)\mu_4-(n-3)\sigma^4\bigr), où μ4=E[(Xi−μ)4]\mu_4=E[(X_i-\mu)^4].

  1. Calculer E(Xˉ)E(\bar{X}) et Var(Xˉ)\text{Var}(\bar{X}).
  2. Est-ce que S2S^2 est un estimateur non biaisé pour σ2\sigma^2 ?
  3. Calculer E(S′2)E(S'^2) et en déduire l'estimateur non biaisé pour σ2\sigma^2.
  4. Calculer Var(S′2)\text{Var}(S'^2).

Supposons maintenant que μ\mu est connue. On définit A=1n∑i=1n(Xi−μ)2A = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2.

  1. Calculer E(A)E(A) et Var(A)\text{Var}(A).
  2. Quel est l'estimateur le plus précis pour σ2\sigma^2 ?
◀الحل

1.

E(Xˉ)=μ,Var(Xˉ)=σ2nE(\bar{X})=\mu, \quad \text{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}

2.

E(S2)=n−1nσ2≠σ2E(S^2)=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2 \neq \sigma^2 : S2S^2 est biaisé.

3.

S′2=nn−1S2S'^2 = \dfrac{n}{n-1}S^2, donc E(S′2)=σ2E(S'^2)=\sigma^2 : S′2S'^2 est non biaisé.

4.

Var(S′2)=n2(n−1)2Var(S2)=(n−1)((n−1)μ4−(n−3)σ4)n(n−1)2=(n−1)μ4−(n−3)σ4n(n−1)\text{Var}(S'^2) = \frac{n^2}{(n-1)^2}\text{Var}(S^2) = \frac{(n-1)\bigl((n-1)\mu_4-(n-3)\sigma^4\bigr)}{n(n-1)^2} = \frac{(n-1)\mu_4-(n-3)\sigma^4}{n(n-1)}

5.

E(A)=σ2E(A)=\sigma^2. Var(A)=μ4−σ4n\text{Var}(A)=\dfrac{\mu_4-\sigma^4}{n}.

6.

AA est non biaisé et sa variance μ4−σ4n\dfrac{\mu_4-\sigma^4}{n} est inférieure à Var(S′2)\text{Var}(S'^2). Donc A\boxed{A} est l'estimateur le plus précis pour σ2\sigma^2 quand μ\mu est connue.

التمرين 3

Exercice 3 — Comparaison de deux populations (Linux vs WinNT)

#confidence-interval#two-sample#hypothesis-testing#sample-size

Vingt informaticiens ont installé chacun soit Linux soit WinNT. Le temps nécessaire (en minutes) est répertorié ci-dessous :

Linux154164198168180172142165172158
WinNT145162156152168157155140145160

On suppose σL2=225\sigma_L^2=225 et σW2=100\sigma_W^2=100.

  1. Calculer l'intervalle de confiance, de niveau 95%, de la durée moyenne d'installation de chacun des 2 logiciels.
  2. Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour garantir une puissance de 90% afin de détecter des différences de durée de 10 minutes ?

On donne Φ(1.96)=0.9750\Phi(1.96)=0.9750 et Φ(1.64)=0.95\Phi(1.64)=0.95.

◀الحل

1. Intervalles de confiance

XˉL=167.3\bar{X}_L = 167.3, XˉW=154.0\bar{X}_W = 154.0

IC 95% Linux : 167.3±1.96⋅1510=167.3±9.30  ⟹  [158.0,176.6]167.3 \pm 1.96\cdot\dfrac{15}{\sqrt{10}} = 167.3 \pm 9.30 \implies [158.0, 176.6]

IC 95% WinNT : 154.0±1.96⋅1010=154.0±6.20  ⟹  [147.8,160.2]154.0 \pm 1.96\cdot\dfrac{10}{\sqrt{10}} = 154.0 \pm 6.20 \implies [147.8, 160.2]

2. Taille d'échantillon

Pour détecter δ=10\delta=10 min avec puissance 90% au niveau 5% :

n=(zα/2+zβ)2(σL2+σW2)δ2=(1.96+1.28)2⋅325100≈34.1n = \frac{(z_{\alpha/2}+z_{\beta})^2(\sigma_L^2+\sigma_W^2)}{\delta^2} = \frac{(1.96+1.28)^2\cdot 325}{100} \approx 34.1

n≈35 par groupe\boxed{n \approx 35 \text{ par groupe}}