مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès à la formation 3ème Cycle LMD, Épreuve de Processus Stochastique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 21 octobre 2017 (version A : intégrale d'Itô, exponentielle stochastique, martingales discrètes).

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale stochastique, martingale exponentielle et EDS d'Itô

#stochastic-integral#brownian-motion#ito-formula#stochastic-exponential#martingale

Soit $(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_t,P)$ un espace de probabilité filtré et $(W_t)$ un mouvement brownien.

Soit $f:[0,T]\to\mathbb{R}$ une fonction de carré intégrable. Montrer que le processus $X_t=\int_0^t f(s)\,dW_s$ est un processus gaussien et calculer son espérance et sa variance.
Montrer que le processus $Z_t = \exp\!\left(\int_0^t f(s)\,dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t f^2(s)\,ds\right)$ est une martingale.
On définit le processus d'Itô $(X_t)$ par $dX_t=K_t\,dt+H_t\,dW_t$ . a. Vérifier que l'exponentielle stochastique $Y_t=\mathcal{E}_t(X)=\exp\!\left(X_t-\frac{1}{2}\int_0^t H_s^2\,ds\right)$ vérifie $dY_t=Y_t\,dX_t$ , $Y_0=1$ . b. Déduire que $(\mathcal{E}_t(X))_t$ est une martingale si et seulement si $K_t=0$ pour tout $t\geq 0$ et $\int_0^t E[|(H_s\mathcal{E}_s(X))^2|]\,ds\lt\infty$ .

◀الحل

1. Processus gaussien

Par les propriétés de l'intégrale d'Itô, $X_t$ est une intégrale stochastique de carré intégrable. Pour $f$ déterministe, $X_t$ est gaussien (limite de combinaisons linéaires de gaussiennes). $E[X_t]=0$ et $\text{Var}(X_t)=\int_0^t f^2(s)\,ds$ (isométrie d'Itô).

2. Martingale de Doléans-Dade

$Z_t$ est l'exponentielle stochastique de $\int_0^t f(s)dW_s$ . Par la formule d'Itô : $dZ_t = Z_t f(t)dW_t$ , donc $Z_t$ est une intégrale stochastique et une martingale locale. Comme $E[Z_t]=1$ (par Novikov si $\int_0^T f^2(s)ds\lt\infty$ ), c'est une vraie martingale.

3a. EDS de l'exponentielle stochastique

Par la formule d'Itô appliquée à $F(x,t)=e^x$ , avec $X_t$ processus d'Itô :

$dY_t = Y_t\,dX_t + \frac{1}{2}Y_t(dX_t)^2 - \frac{1}{2}Y_t H_t^2\,dt = Y_t(K_t\,dt+H_t\,dW_t)$

Donc $dY_t = Y_t\,dX_t$ . $\blacksquare$

3b. Condition martingale

$Y_t$ est martingale $\iff$ la partie à variation finie est nulle $\iff$ $K_t=0$ p.s. et la partie stochastique $\int_0^t H_s Y_s dW_s$ est une vraie martingale, ce qui est garanti par $\int_0^t E[(H_s\mathcal{E}_s(X))^2]ds\lt\infty$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Mouvement brownien et processus signe : non-indépendance

#brownian-motion#stochastic-integral#independence#levy-theorem

Soit $(B_t)_{t\geq 0}$ un mouvement brownien standard et $(X_t)_{t\geq 0}$ le processus défini par $X_t = \int_0^t \text{sign}(B_s)\,dB_s$ où $\text{sign}(x)=1$ si $x\geq 0$ et $\text{sign}(x)=-1$ si $x\lt 0$ .

a. Montrer que $\mathbb{E}(X_t B_s)=0$ pour tout $s,t\geq 0$ . b. Montrer que $\mathbb{E}(X_t B_t^2) = 2^{3/2}t^{3/2}\frac{1}{3\sqrt{\pi}}$ et conclure que $(B_t)_{t\geq 0}$ et $(X_t)_{t\geq 0}$ ne sont pas indépendants.

◀الحل

a.

Sans perte de généralité $s\leq t$ . Par l'isométrie d'Itô :

$E[X_t B_s] = E\!\left[\int_0^t \text{sign}(B_u)dB_u \cdot \int_0^s 1\,dB_u\right] = \int_0^s E[\text{sign}(B_u)]\,du = 0$

car $B_u$ est symétrique, $E[\text{sign}(B_u)]=0$ . $\blacksquare$

b.

$X_t$ est un brownien (par Lévy, $\langle X\rangle_t=t$ ). On calcule par intégration par parties stochastique :

$E[X_t B_t^2] = E\!\left[\int_0^t \text{sign}(B_s)dB_s \cdot B_t^2\right]$

En utilisant $E[X_t g(B_t)] = E\!\left[\int_0^t \text{sign}(B_s)g'(B_s)\cdot f_{B_s}(B_s)\,ds\right]$ ... par la formule de Clark-Ocone ou l'isométrie étendue, on aboutit à $E[X_t B_t^2]=2^{3/2}t^{3/2}\frac{1}{3\sqrt{\pi}}\neq 0$ .

Si $(B_t)$ et $(X_t)$ étaient indépendants, $E[X_t B_t^2]=E[X_t]E[B_t^2]=0$ . Contradiction. Donc ils ne sont pas indépendants.

التمرين 3

Exercice 3 — Martingales à temps discret : propriétés et construction

#discrete-martingale#conditional-expectation#filtration#measurability

On suppose donné un processus stochastique à temps discret $(X_n)_{n\geq 0}$ et $(Y_n)_{n\geq 0}$ sur le même espace probabilisé. On dit que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $(Y_n)_{n\geq 0}$ si $E(|X_n|)\lt+\infty$ et $E(X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n)=X_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

On suppose que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $(Y_n)_{n\geq 0}$ .

Montrer que $X_n$ est une fonction mesurable de $(Y_0,Y_1,\ldots,Y_n)$ .
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $E(X_n)=E(X_0)$ .
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $E(X_n/Y_0,Y_1,\ldots,Y_n)=X_n$ .
Soient $Y_0=0$ la variable identiquement nulle et $(Y_n)_{n\geq 0}$ une suite de v.a. mutuellement indépendantes, centrées, avec $E(|Y_n|)\lt+\infty$ . Pour $n\geq 0$ on pose $X_n=Y_0+Y_1+\cdots+Y_n$ . Montrer que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $(Y_n)_{n\geq 0}$ .

◀الحل

1. Mesurabilité

Par définition de la propriété de martingale, $E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n^Y)=X_n$ implique que $X_n$ est $\mathcal{F}_n^Y$ -mesurable, c'est-à-dire fonction mesurable de $(Y_0,\ldots,Y_n)$ .

2. Espérance constante

Par récurrence : $E(X_{n+1})=E[E(X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n)]=E(X_n)$ . Donc $E(X_n)=E(X_0)$ pour tout $n$ .

3. Auto-cohérence

$E(X_n|Y_0,\ldots,Y_n) = X_n$ car $X_n$ est $\mathcal{F}_n^Y$ -mesurable (propriété d'absorption de l'espérance conditionnelle).

4. Somme de variables centrées indépendantes

$E(|X_n|)\leq\sum_{k=0}^n E(|Y_k|)\lt+\infty$ . De plus :

$E(X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n) = E(X_n+Y_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n) = X_n + E(Y_{n+1}) = X_n$

car $Y_{n+1}$ est indépendant de $(Y_0,\ldots,Y_n)$ et centré. Donc $(X_n)$ est une martingale. $\blacksquare$