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مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées — Probabilités + Statistique, Épreuve de Probabilités, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 21 octobre 2017.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi géométrique sur N* et espérance conditionnelle

#geometric-distribution#conditional-expectation#joint-distribution#covariance

On considère une variable aléatoire XX à valeurs dans N∗\mathbb{N}^* définie par la loi de probabilité :

∀i∈N∗:P(X=i)=a3i\forall i\in\mathbb{N}^* : P(X=i) = \frac{a}{3^i}

Soit YY une variable aléatoire telle que, sachant X=iX=i, la loi de YY est l'équiprobabilité sur {i,i+1}\{i,i+1\}.

  1. Déterminer la valeur de aa. Déduire E[X]E[X].
  2. Pour tout i∈N∗i\in\mathbb{N}^*, déterminer E[Y∣X=i]E[Y|X=i]. En déduire E[Y∣X]E[Y|X], puis E[Y]E[Y].
  3. Calculer la loi jointe du couple (X,Y)(X,Y).
  4. Pour tout j∈N∗j\in\mathbb{N}^*, déterminer E[X∣Y=j]E[X|Y=j]. En déduire E[X∣Y]E[X|Y].
  5. Déterminer Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y).
◀الحل

1.

∑i=1∞a3i=a⋅1/31−1/3=a2=1  ⟹  a=2\sum_{i=1}^\infty \frac{a}{3^i} = a\cdot\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{a}{2}=1 \implies \boxed{a=2}

E[X]=∑i=1∞i⋅23i=23⋅1(1−1/3)2=32E[X]=\sum_{i=1}^\infty i\cdot\frac{2}{3^i} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(1-1/3)^2}=\frac{3}{2}

2.

E[Y∣X=i]=i+(i+1)2=i+12E[Y|X=i]=\frac{i+(i+1)}{2}=i+\frac{1}{2}, donc E[Y∣X]=X+12E[Y|X]=X+\frac{1}{2}, et E[Y]=E[X]+12=32+12=2E[Y]=E[X]+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.

3. Loi jointe

P(X=i,Y=j)=12P(X=i)P(X=i,Y=j)=\frac{1}{2}P(X=i) si j∈{i,i+1}j\in\{i,i+1\}, donc : P(X=i,Y=j)=12⋅23i=13i pour j=i ou j=i+1P(X=i,Y=j) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3^i}=\frac{1}{3^i} \text{ pour } j=i \text{ ou } j=i+1

4.

Pour j≥2j\geq 2 : Y=jY=j peut provenir de X=j−1X=j-1 (avec Y=jY=j) ou X=jX=j (avec Y=jY=j) : P(Y=j)=P(X=j−1,Y=j)+P(X=j,Y=j)=13j−1+13j=43jP(Y=j)=P(X=j-1,Y=j)+P(X=j,Y=j)=\frac{1}{3^{j-1}}+\frac{1}{3^j}=\frac{4}{3^j}

P(Y=1)=P(X=1,Y=1)=13P(Y=1)=P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}.

Pour j≥2j\geq 2 : E[X∣Y=j]=(j−1)⋅1/3j−1+j⋅1/3j4/3j=3(j−1)+j4=4j−34=j−34E[X|Y=j]=\frac{(j-1)\cdot 1/3^{j-1}+j\cdot 1/3^j}{4/3^j}=\frac{3(j-1)+j}{4}=\frac{4j-3}{4}=j-\frac{3}{4}.

5. Covariance

E[XY]=E[X⋅E[Y∣X]]=E[X(X+1/2)]=E[X2]+12E[X]E[XY]=E[X\cdot E[Y|X]]=E[X(X+1/2)]=E[X^2]+\frac{1}{2}E[X].

E[X2]=∑i=1∞i2⋅23i=3E[X^2]=\sum_{i=1}^\infty i^2\cdot\frac{2}{3^i}=3, donc E[XY]=3+34=154E[XY]=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}.

Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=154−32⋅2=154−3=34\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=\frac{15}{4}-\frac{3}{2}\cdot 2=\frac{15}{4}-3=\boxed{\frac{3}{4}}

التمرين 2

Exercice 2 — Modes de convergence des suites de variables aléatoires

#convergence-in-probability#convergence-in-law#almost-sure-convergence#law-of-large-numbers
  1. Dans un espace probabilisé, montrer que la convergence en probabilité implique la convergence en loi.
  2. Montrer par un exemple que la convergence presque-sûre n'implique pas la convergence en moyenne quadratique.
  3. Soit ff une fonction continue périodique de période T=1T=1 sur R\mathbb{R}. Considérons une suite de variables aléatoires indépendantes (Xn)n≥1(X_n)_{n\geq 1}, uniformément distribuées sur [0,1][0,1]. Montrer que la suite 1n∑k=1nf(x+Xk)\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f(x+X_k) converge en probabilité vers ∫01f(t) dt\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt.
◀الحل

1. Convergence en proba ⇒\Rightarrow convergence en loi

Soient Xn→PXX_n\xrightarrow{P}X et FXF_X CDF de XX. Pour ε>0\varepsilon\gt 0 et xx point de continuité de FXF_X :

FXn(x)=P(Xn≤x)≤P(X≤x+ε)+P(∣Xn−X∣>ε)→FX(x+ε)F_{X_n}(x) = P(X_n\leq x)\leq P(X\leq x+\varepsilon)+P(|X_n-X|\gt\varepsilon)\to F_X(x+\varepsilon)

De même FXn(x)≥FX(x−ε)−P(∣Xn−X∣>ε)F_{X_n}(x)\geq F_X(x-\varepsilon)-P(|X_n-X|\gt\varepsilon). En faisant ε→0\varepsilon\to 0 : FXn(x)→FX(x)F_{X_n}(x)\to F_X(x).

2. Exemple : p.s. ⇏\not\Rightarrow L²

Soit Xn=n⋅1[0,1/n]X_n = n\cdot\mathbf{1}_{[0,1/n]} sur ([0,1],B,λ)([0,1],\mathcal{B},\lambda). Alors Xn→0X_n\to 0 p.s. mais E[Xn2]=n→+∞E[X_n^2]=n\to+\infty.

3. Loi des grands nombres ergodique

Pour xx fixé, les v.a. Zk=f(x+Xk)Z_k=f(x+X_k) sont i.i.d. avec E[Zk]=∫01f(x+t) dt=∫01f(t) dtE[Z_k]=\int_0^1 f(x+t)\,dt=\int_0^1 f(t)\,dt (par périodicité). Par la LGN, 1n∑k=1nf(x+Xk)→P∫01f(t) dt\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x+X_k)\xrightarrow{P}\int_0^1 f(t)\,dt. ■\blacksquare

التمرين 3

Exercice 3 — Densité à support compact : constante, espérance, variance, CDF

#probability-density#expectation#variance#cumulative-distribution-function

La consommation journalière en eau d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire XX dont la densité ff a la forme :

f(t)=c(t−a)(b−t) 1[a,b](t),t∈Rf(t) = c(t-a)(b-t)\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t), \quad t\in\mathbb{R}

aa et bb deux nombres réels.

  1. Exprimer la constante cc en fonction de aa et bb.
  2. Calculer E[X−a]E[X-a] et E[(X−a)2]E[(X-a)^2]. En déduire E[X]E[X] et Var(X)\text{Var}(X).
  3. Donner la fonction de répartition FF de la variable aléatoire XX.
◀الحل

1. Constante c

Posons h=b−ah=b-a. ∫ab(t−a)(b−t) dt=∫0hu(h−u) du=h36\int_a^b (t-a)(b-t)\,dt = \int_0^h u(h-u)\,du = \frac{h^3}{6}.

c=6(b−a)3\boxed{c = \frac{6}{(b-a)^3}}

2. Espérance et variance

Avec U=X−a∼U=X-a\sim loi de densité g(u)=6h3u(h−u)1[0,h]g(u)=\frac{6}{h^3}u(h-u)\mathbf{1}_{[0,h]}.

E[U]=6h3∫0hu2(h−u) du=6h3⋅h412=h2E[U]=\frac{6}{h^3}\int_0^h u^2(h-u)\,du = \frac{6}{h^3}\cdot\frac{h^4}{12}=\frac{h}{2}

E[U2]=6h3∫0hu3(h−u) du=6h3⋅h520=3h210E[U^2]=\frac{6}{h^3}\int_0^h u^3(h-u)\,du=\frac{6}{h^3}\cdot\frac{h^5}{20}=\frac{3h^2}{10}

E[X]=a+b−a2=a+b2,Var(X)=3h210−h24=(b−a)220E[X]=a+\frac{b-a}{2}=\boxed{\frac{a+b}{2}}, \quad \text{Var}(X)=\frac{3h^2}{10}-\frac{h^2}{4}=\boxed{\frac{(b-a)^2}{20}}

3. CDF

Pour t∈[a,b]t\in[a,b] :

F(t)=6(b−a)3∫at(u−a)(b−u) du=6h3[(t−a)2h2−(t−a)33]F(t) = \frac{6}{(b-a)^3}\int_a^t (u-a)(b-u)\,du = \frac{6}{h^3}\left[\frac{(t-a)^2 h}{2}-\frac{(t-a)^3}{3}\right]

F(t)=(t−a)2[3(b−a)−2(t−a)](b−a)3\boxed{F(t) = \frac{(t-a)^2[3(b-a)-2(t-a)]}{(b-a)^3}}

avec F(t)=0F(t)=0 pour t<at\lt a et F(t)=1F(t)=1 pour t>bt\gt b.