مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 07

Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon d'une variable aléatoire $X$ de densité de probabilité

$f(x) = \begin{cases} \theta(\theta+1)x^{\theta-1}(1-x) & \text{si } 0 \lt x \lt 1 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$

1. (2,5 pts) Calculer l'estimateur $\hat{\theta}$ de $\theta$ obtenu par la méthode des moments.
2. (2,5 pts) Calculer l'information de Fisher. Déduire la borne de Cramer-Rao.
3. (2 pts) Sachant que $\operatorname{Var}(\hat{\theta}) = \frac{\theta(\theta+2)^2}{2n(\theta+3)}$, montrer que $\hat{\theta}$ n'est pas efficace.

Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de variables aléatoires indépendantes de loi parente d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ inconnues. Considérons les statistiques :

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2,\quad S'^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2.$

On donne $E(S^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2$ et $\operatorname{Var}(S^2)=\frac{n-1}{n^3}\left[(n-1)\mu_4-(n-3)\sigma^4\right]$ où $\mu_4=E[(X_i-\mu)^4]$.

1. (1 pt) Calculer $E(\bar{X})$ et $\operatorname{Var}(\bar{X})$.
2. (1 pt) Est-ce que $S^2$ est un estimateur non biaisé pour $\sigma^2$ ?
3. (2 pts) Calculer $E(S'^2)$ et en déduire l'estimateur non biaisé pour $\sigma^2$.
4. (1 pt) Calculer $\operatorname{Var}(S'^2)$.

Supposons maintenant que $\mu$ est connue. Définissons $A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$.

5. (1 pt) Calculer $E(A)$ et $\operatorname{Var}(A)$.
6. (1 pt) Quel est l'estimateur le plus précis pour $\sigma^2$ ?

Vingt informaticiens ont installé chacun soit Linux soit WinNT. Les temps d'installation (en minutes) sont :

On suppose que les données proviennent de lois normales de variances $\sigma_L^2=225$ et $\sigma_W^2=100$.

1. (4 pts) Calculer l'intervalle de confiance, de niveau 95%, de la durée moyenne d'installation de chacun des 2 logiciels.
2. (2 pts) Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour garantir une puissance de 90% afin de détecter des différences de durée de 10 minutes ?

On donne $\Phi(1.96)=0.9750$ et $\Phi(1.64)=0.95$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme $\mathcal{U}_{[0,\theta]}$, avec $\theta\gt 0$.

1. (1,5 pts) Montrer que la vraisemblance associée à l'échantillon $x_1,\ldots,x_n$ est

$L(x_1,\ldots,x_n,\theta)=\frac{1}{\theta^n}\mathbf{1}_{0\leq\sup_{1\leq i\leq n}x_i\leq\theta}.$

2. (1,5 pts) Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\theta$ est $Y=\sup_{1\leq i\leq n}X_i$.
3. (1,5 pts) Trouver la fonction de répartition et la densité de $Y$.
4. (1,5 pts) Calculer $E(Y)$, et en déduire que $Y$ est un estimateur biaisé pour $\theta$.
5. (1 pt) Trouver un estimateur $\hat{\theta}$ non biaisé pour $\theta$.

La variable aléatoire discrète $X$, dont l'ensemble des valeurs possibles est $\{1,2,3,4\}$, possède la fonction de masse de probabilité :

$p_X(x;\theta) = \begin{cases} \dfrac{3\cos^2\theta}{8|2.5-x|} & \text{si } x\in\{1,3\} \\[6pt] \dfrac{3\sin^2\theta}{8|2.5-x|} & \text{si } x\in\{2,4\} \end{cases}$

où $\theta\in[0,+\infty)$.

1. (3,5 pts) Calculer $E(X^3)$ et en déduire un estimateur de $\theta$.
2. (3,5 pts) On a recueilli 365 observations : $n_1=63$, $n_2=120$, $n_3=148$, $n_4=34$. Tester l'ajustement du modèle avec $\theta=3\pi/4$, au seuil $\alpha=5\%$. On donne $\chi^2_{0.05;3}=7.81$.

Soit $X$ une population normale de moyenne $\mu$ connue et de variance 1. Pour tester $H_0:\mu\leq 0$ contre $H_1:\mu\gt 0$, à partir d'un échantillon $(X_1,\ldots,X_{16})$, on a les règles :

$R_1$ : «on rejette $H_0$ si $\bar{x}\geq 0.32$» et $R_2$ : «on rejette $H_0$ si $\max_{1\leq i\leq 16}x_i\geq 2.48$».

1. (3 pts) Déterminer la fonction puissance de chacune des deux règles.
2. (3 pts) Déduire le niveau de signification de chacune d'elles.

On donne $\Phi(1.28)=0.90$ et $\Phi(2.48)=0.9934$.