مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 08

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès à la formation 3ème cycle LMD — Épreuve de Processus Stochastique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 21 octobre 2017.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale stochastique, martingale exponentielle, formule d'Itô

#stochastic-processes#ito-integral#martingale#brownian-motion

Soit $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),P)$ un espace de probabilité filtré et $(W_t)$ un mouvement Brownien.

(3 pts) Soit $f:[0,T]\to\mathbb{R}$ une fonction de carré intégrable. Montrer que le processus $X_t=\int_0^t f(s)dW_s$ est un processus gaussien et calculer son espérance et sa variance.
(3 pts) Montrer que le processus

$Z_t=\exp\!\left(\int_0^t f(s)dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t f^2(s)ds\right)$

est une martingale. 3. (1 pt) On définit le processus d'Itô $(X_t)$ par $dX_t=K_t\,dt+H_t\,dW_t$ . a. (2 pts) Vérifier que l'exponentielle stochastique $Y_t=\mathcal{E}_t(X)=\exp\!\left(X_t-\frac{1}{2}\int_0^t H_s^2\,ds\right)$ vérifie $dY_t=Y_t\,dX_t$ , $Y_0=1$ . b. (2 pts) En déduire que $(\mathcal{E}_t(X))_t$ est une martingale si et seulement si $K_t=0$ pour tout $t\geq 0$ et $\int_0^t E[|H_s\mathcal{E}_s(X)|^2]\,ds\lt+\infty$ .

◀الحل

1.

$X_t=\int_0^t f(s)dW_s$ est une intégrale d'Itô d'un processus déterministe, donc gaussienne. $E[X_t]=0$ , $\operatorname{Var}(X_t)=\int_0^t f^2(s)ds$ (isométrie d'Itô).

2.

Poser $M_t=\int_0^t f(s)dW_s$ (martingale) et $A_t=\frac{1}{2}\int_0^t f^2(s)ds$ . Par la formule d'Itô appliquée à $g(x)=e^x$ : $dZ_t=Z_t\,f(t)dW_t$ . Donc $(Z_t)$ est une intégrale stochastique (sans terme en $dt$ ) : c'est une martingale locale, et bornée en $L^2$ par l'isométrie, donc une vraie martingale.

3a.

Appliquer Itô à $F(t,X_t)=\exp(X_t-\frac{1}{2}\int_0^t H_s^2ds)$ : $dY_t=(dX_t-\frac{1}{2}H_t^2dt+\frac{1}{2}H_t^2dt)Y_t=Y_t\,dX_t$ .

3b.

$dY_t=Y_t K_t dt + Y_t H_t dW_t$ . Pour que $Y_t$ soit martingale, le terme en $dt$ doit être nul : $K_t=0$ . La condition d'intégrabilité assure que $\int Y_tH_tdW_t$ est une vraie martingale.

التمرين 2

Exercice 2 — Processus signe, indépendance de Bt et Xt

#stochastic-processes#brownian-motion#stochastic-integral#independence

Soit $(B_t)_{t\geq 0}$ un mouvement Brownien standard sur $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),\mathbb{P})$ et soit $(X_t)_{t\geq 0}$ le processus défini par $X_t=\int_0^t \operatorname{sign}(B_s)\,dB_s$ où $\operatorname{sign}(x)=1$ si $x\geq 0$ et $\operatorname{sign}(x)=-1$ si $x\lt 0$ .

a. (4 pts) Montrer que $\mathbb{E}(X_t B_s)=0$ pour tout $s,t\geq 0$ . b. (3 pts) Montrer que

$\mathbb{E}(X_t B_t^2) = 2^{3/2}\,t^{3/2}\,\frac{1}{3\sqrt{\pi}}$

et conclure que $(B_t)$ et $(X_t)$ ne sont pas indépendants.

◀الحل

a.

On suppose $s\leq t$ . $X_t=X_s+\int_s^t\operatorname{sign}(B_u)dB_u$ . $B_s$ est $\mathcal{F}_s$ -mesurable, l'intégrale $\int_s^t\operatorname{sign}(B_u)dB_u$ est orthogonale à $\mathcal{F}_s$ : donc $E[B_s\int_s^t\operatorname{sign}(B_u)dB_u]=0$ . Par Itô isometry, $E[X_s B_s]=E[\int_0^s \operatorname{sign}(B_u)dB_u \cdot B_s]=\int_0^s E[\operatorname{sign}(B_u)]\,du=0$ car $B_u\sim\mathcal{N}(0,u)$ est symétrique. Donc $E[X_t B_s]=0$ .

b.

Par intégration par parties stochastique : $B_t^2=2\int_0^t B_s\,dB_s+t$ . Donc $E[X_t B_t^2]=2E[X_t\int_0^t B_s\,dB_s]+t\cdot 0=2\int_0^t E[\operatorname{sign}(B_s)\cdot B_s]\,ds=2\int_0^t E[|B_s|]\,ds=2\int_0^t\sqrt{\frac{2s}{\pi}}\,ds=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=\frac{2^{3/2}t^{3/2}}{3\sqrt{\pi}}\neq 0$ .

Ce résultat $\neq 0$ montre que $(B_t)$ et $(X_t)$ ne sont pas indépendants.

التمرين 3

Exercice 3 — Martingale à temps discret : définition et propriétés

#stochastic-processes#discrete-martingale#conditional-expectation#filtration

On suppose donné un processus stochastique à temps discret $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé. On dit que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport au processus $(Y_n)_{n\geq 0}$ si pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $E(|X_n|)\lt+\infty$ et $E(X_{n+1}/Y_0,Y_1,\ldots,Y_n)=X_n$ .

On suppose que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $(Y_n)_{n\geq 0}$ .

(2 pts) Montrer que $X_n$ est une fonction mesurable de $(Y_0,Y_1,\ldots,Y_n)$ .
(2 pts) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $E(X_n)=E(X_0)$ .
(2 pts) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $E(X_n/Y_0,Y_1,\ldots,Y_n)=X_n$ .
(1 pt) Soient $Y_0=0$ identiquement nulle et $(Y_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, centrées et telles que $E(|Y_n|)\lt+\infty$ . Pour tout $n\geq 0$ , on pose $X_n=Y_0+Y_1+\cdots+Y_n$ . Montrer que $(X_n)_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $(Y_n)_{n\geq 0}$ .

◀الحل

1.

Par définition de la martingale, $X_n=E(X_n|Y_0,\ldots,Y_n)$ , qui est $\sigma(Y_0,\ldots,Y_n)$ -mesurable.

2.

Par la propriété de la tour : $E[X_{n+1}]=E[E[X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n]]=E[X_n]$ . Par récurrence, $E[X_n]=E[X_0]$ .

3.

$X_n=E[X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n]$ donc $E[X_n|Y_0,\ldots,Y_n]=X_n$ (propriété de l'espérance conditionnelle d'une v.a. mesurable).

4.

$E[|X_n|]\leq\sum_{k=0}^n E[|Y_k|]\lt+\infty$ . $E[X_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n]=E[X_n+Y_{n+1}|Y_0,\ldots,Y_n]=X_n+E[Y_{n+1}]=X_n$ car $Y_{n+1}$ est indépendant de $(Y_0,\ldots,Y_n)$ et centré.