مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 11

On dispose de $n$ points $(x_i,y_i)$, $i=1,\ldots,n$, et l'on suppose que la fonction modèle est de la forme

$$f(x,\beta_0)=\beta_0.$$

Trouver $\beta_0$ minimisant

$$S(\beta_0)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-f(x_i,\beta_0)\bigr)^2.$$

Soient

$$A= \begin{pmatrix} 1&\alpha&-\beta\\ 0&1&0\\ -\beta&\alpha&1 \end{pmatrix}, \qquad b= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.$$

1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ a-t-on $\rho(J)<1$, où $J$ est la matrice de Jacobi associée à $A$ ?

2. On suppose $\alpha=\beta=\frac12$ et $x^{(0)}=(2,2,2)^T$.

a. La méthode de Jacobi est-elle convergente ?

b. Montrer que $x^{(k)}=(1,1,1)^T$ pour tout $k\ge1$.

3. Soient $\alpha=0$ et $\beta=\frac12$.

a. Déterminer le nombre d'itérations $k_0$ à effectuer, à partir de $x^{(0)}=(2,2,2)^T$, afin d'avoir

$$\|x^{(k)}-x\|_2\le10^{-3},\qquad k\ge k_0.$$

b. Peut-on considérer $x^{(2)}$ comme la meilleure approximation de $x$ à $10^{-3}$ près ? Justifier.

4. Soit $G$ la matrice de Gauss-Seidel associée à $A$.

a. Écrire l'algorithme de Gauss-Seidel appliqué à $Ax=b$ et en déduire $G$.

b. Pour quelles valeurs de $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ a-t-on $\rho(G)<1$ ?

On considère le problème aux limites

$$-u''(x)+u'(x)+(1-x^2)u(x)=f(x),\qquad x\in(0,1),$$

avec

$$u(0)=-\alpha,\qquad u'(1)=\beta,$$

où $f\in C([0,1])$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.

1. Trouver le système algébrique associé à l'approximation de ce problème par une méthode de différences finies centrées.
2. Ce système admet-il une solution unique ?