مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès à la formation de troisième cycle (Doctorat LMD) — Épreuve : Processus Stochastiques, Option Probabilités et EDS, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 21/10/2018.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale stochastique d'Itô, loi de X_t et intégrale de Brownien

#stochastic-processes#ito-integral#brownian-motion#variance

Soient $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, P)$ un espace de probabilité filtré et $(B_t)_{t \geq 0}$ un mouvement Brownien standard. Soit $X_t = \displaystyle\int_0^t s\,dB_s$ .

Calculer $E(X_t)$ et $\mathrm{Var}(X_t)$ . Quelle est la loi de $X_t$ ?
Calculer $d(tB_t)$ à l'aide de la formule d'Itô.
En déduire une relation entre $X_t$ et $Y_t = \displaystyle\int_0^t B_s\,ds$ .
Calculer la variance de $Y_t$ , a. directement à partir de sa définition, b. en calculant d'abord la covariance de $B_t$ et $X_t$ , à l'aide d'une partition de $[0,t]$ . En déduire la loi de $Y_t$ .

◀الحل

1.

Par propriété de l'intégrale de Itô : $E(X_t) = 0$ . L'isométrie d'Itô donne :

$\mathrm{Var}(X_t) = E(X_t^2) = \int_0^t s^2\,ds = \frac{t^3}{3}.$

Puisque $X_t$ est une intégrale stochastique gaussienne (intégrande déterministe) :

$\boxed{X_t \sim \mathcal{N}\!\left(0,\,\frac{t^3}{3}\right).}$

2.

On applique la formule d'Itô à $f(t,B_t) = tB_t$ :

$d(tB_t) = B_t\,dt + t\,dB_t + 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{d(tB_t) = B_t\,dt + t\,dB_t.}$

3.

En intégrant la formule d'Itô de $0$ à $t$ :

$tB_t = \int_0^t B_s\,ds + \int_0^t s\,dB_s = Y_t + X_t.$

Donc $\boxed{X_t = tB_t - Y_t.}$

4a.

On calcule directement :

$\mathrm{Var}(Y_t) = \mathrm{Cov}\!\left(\int_0^t B_s\,ds, \int_0^t B_u\,du\right) = \int_0^t\int_0^t \mathrm{Cov}(B_s,B_u)\,ds\,du = \int_0^t\int_0^t \min(s,u)\,ds\,du.$

Par symétrie :

$= 2\int_0^t\int_0^u s\,ds\,du = 2\int_0^t \frac{u^2}{2}\,du = \int_0^t u^2\,du = \frac{t^3}{3}.$

4b.

De la relation $Y_t = tB_t - X_t$ , on obtient $\mathrm{Var}(Y_t) = t^2\mathrm{Var}(B_t) + \mathrm{Var}(X_t) - 2t\,\mathrm{Cov}(B_t,X_t)$ . En calculant $\mathrm{Cov}(B_t,X_t) = \int_0^t s\,ds = t^2/2$ :

$\mathrm{Var}(Y_t) = t^2\cdot t + \frac{t^3}{3} - 2t\cdot\frac{t^2}{2} = t^3 + \frac{t^3}{3} - t^3 = \frac{t^3}{3}.$

Puisque $Y_t$ est une intégrale d'une fonction déterministe d'un Brownien : $\boxed{Y_t \sim \mathcal{N}\!\left(0,\,\frac{t^3}{3}\right).}$

التمرين 2

Exercice 2 — EDS linéaire : existence, unicité et moments

#stochastic-differential-equations#linear-sde#moments#ito-formula

Soient $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, P)$ un espace de probabilité filtré et $(B_t)_{t \geq 0}$ un mouvement Brownien standard. On considère l'équation différentielle stochastique :

$\begin{cases} dX_t = (a + \gamma X_t)\,dt + (b + \beta X_t)\,dB_t, \\ X_0 = x, \end{cases} \tag{1}$

avec $a, \gamma, b, \beta$ des constantes réelles et $x \in \mathbb{R}$ .

Montrer que l'équation (1) admet une solution unique.
On note $m(t) = E(X_t)$ et $M(t) = E(X_t^2)$ . i. Montrer que $m(t)$ est l'unique solution de l'équation différentielle ordinaire : $\begin{cases} y' - \gamma y = a, \\ y(0) = x. \end{cases}$ (2) ii. Ecrire $X_t^2$ où $X_t$ est la solution de l'équation (1). iii. En déduire que $M(t)$ est l'unique solution de l'équation différentielle ordinaire : $\begin{cases} y' - (2\gamma+\beta^2)y = 2(a+b\beta)m + b^2, \\ y(0) = x^2, \end{cases} \tag{3}$ où $m$ est la solution de (2). iv. Calculer $E(X_t)$ et $E(X_t^2)$ .

◀الحل

1.

Les coefficients de dérive $f(t,x) = a+\gamma x$ et de diffusion $\sigma(t,x) = b+\beta x$ sont lipschitziens en $x$ (uniformément en $t$ ) et à croissance linéaire. Par le théorème d'existence et d'unicité des EDS lipschitziennes, l'équation (1) admet une unique solution forte.

2i.

En prenant l'espérance de (1) (l'intégrale stochastique est de moyenne nulle) :

$m'(t) = \frac{d}{dt}E(X_t) = E(a + \gamma X_t) = a + \gamma m(t), \quad m(0) = x.$

C'est exactement l'équation (2). Par unicité des EDO : $\boxed{m(t) = xe^{\gamma t} + \frac{a}{\gamma}(e^{\gamma t}-1)}$ (si $\gamma\neq 0$ ).

2ii.

Par la formule d'Itô appliquée à $f(X_t) = X_t^2$ :

$dX_t^2 = 2X_t\,dX_t + (dX_t)^2 = 2X_t[(a+\gamma X_t)dt + (b+\beta X_t)dB_t] + (b+\beta X_t)^2 dt.$

$dX_t^2 = [2aX_t + (2\gamma+\beta^2)X_t^2 + 2b\beta X_t + b^2]\,dt + 2X_t(b+\beta X_t)\,dB_t.$

2iii.

En prenant l'espérance (l'intégrale stochastique est une martingale, donc de moyenne nulle) :

$M'(t) = 2aE(X_t) + (2\gamma+\beta^2)M(t) + 2b\beta E(X_t) + b^2 = (2\gamma+\beta^2)M(t) + 2(a+b\beta)m(t) + b^2.$

Cela donne l'équation (3). Avec $M(0) = E(X_0^2) = x^2$ , c'est une EDO du premier ordre à coefficients constants non homogène, dont la solution est unique.

2iv.

De (2) : $\boxed{E(X_t) = m(t) = xe^{\gamma t} + \frac{a}{\gamma}(e^{\gamma t}-1).}$ (pour $\gamma \neq 0$ )

Et $E(X_t^2) = M(t)$ est la solution de (3), que l'on obtient par variation de la constante.

التمرين 3

Exercice 3 — Martingales, surmartingales, sous-martingales et inégalité de Doob

#martingales#submartingale#doob-inequality#iid-variables

Soient $Y_1, Y_2,\ldots$ des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées définies sur un espace probabilisé filtré $(\Omega, F, \{\mathcal{F}_n\}_n, P)$ où $\{\mathcal{F}_n\}_n$ est la filtration canonique, et soit $X_n = \prod_{i=1}^n Y_i$ . Sous quelle condition la suite $X_n$ est-elle une surmartingale ? Une sous-martingale ? Une martingale ?
On suppose que $Y_1, Y_2,\ldots$ sont d'espérance nulle et variance finie $\sigma^2$ . Montrer que $Z_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ est une martingale. En utilisant l'inégalité de Doob, montrer que :

$\forall \lambda \gt 0, \quad P\!\left(\max_{1 \leq i \leq n} |Z_i| \geq \lambda\right) \leq \frac{1}{\lambda^2}\,\mathrm{Var}(Z_n) = \frac{n\sigma^2}{\lambda^2}.$

Améliorer la borne précédente en appliquant l'inégalité de Doob à $(Z_n+c)^2$ et en optimisant sur $c$ .

◀الحل

1.

Si $E(Y_1) = \mu$ , alors $E(X_n|\mathcal{F}_{n-1}) = X_{n-1}\cdot E(Y_n) = \mu X_{n-1}$ .

Martingale $\iff \mu = 1$ , c'est-à-dire $E(Y_1) = 1$ .
Surmartingale $\iff \mu \leq 1$ , c'est-à-dire $E(Y_1) \leq 1$ .
Sous-martingale $\iff \mu \geq 1$ , c'est-à-dire $E(Y_1) \geq 1$ .

2.

On a $Z_n = Z_{n-1} + Y_n$ et $Y_n$ est indépendante de $\mathcal{F}_{n-1}$ , donc $E(Z_n|\mathcal{F}_{n-1}) = Z_{n-1} + E(Y_n) = Z_{n-1}$ . Donc $Z_n$ est une martingale.

Puisque $Z_n$ est une martingale, $Z_n^2$ est une sous-martingale. L'inégalité de Doob pour les sous-martingales donne :

$P\!\left(\max_{1\leq i\leq n} |Z_i| \geq \lambda\right) = P\!\left(\max_{1\leq i\leq n} Z_i^2 \geq \lambda^2\right) \leq \frac{E(Z_n^2)}{\lambda^2} = \frac{n\sigma^2}{\lambda^2}.$

3.

On applique l'inégalité de Doob à $(Z_n+c)^2$ (sous-martingale pour tout $c$ ) :

$P\!\left(\max_{1\leq i\leq n}|Z_i+c| \geq \lambda\right) \leq \frac{E[(Z_n+c)^2]}{\lambda^2} = \frac{n\sigma^2 + c^2}{\lambda^2}.$

Nota : $P(\max|Z_i|\geq \lambda) \leq P(\max|Z_i+c|\geq\lambda-|c|)$ ... En optimisant directement sur $c$ dans la borne $\frac{E[(Z_n+c)^2]}{\lambda^2}$ , le minimum sur $c$ est atteint en $c = -E(Z_n) = 0$ . On obtient la même borne. Pour une amélioration effective, on peut optimiser $P(\max_{i}(Z_i+c)^2 \geq (\lambda+|c|)^2)$ , ce qui donne des raffinements dépendant de la situation.